Matematiikka 24.5.

Viimeisellä kerralla lähdettiin tekemään vielä viime kevään matematiikan pääsykoetta. Tehtäväthän on kurssilla jo vastaantulleet, jos on tehnyt sopivat tehtävät kirjasta, mutta harvoinpa nämä yhdellä tekemällä ulkomuistista tulevat toisella kerralla vielä.

Kokeessa ykköstehtävä on sikäli visainen, että se sisältää peräti kuusi alakohtaa. Kustakin pisteestä joutuu siis tekemään oman tehtävänsä. Näissä tehtävissä on aina suuri riski menettää helppoja pisteitä; tässäkin kohdat ovat pääpiirteittäin hyvin yksinkertaisia, mutta samankaltaisina tehtävinä näissä on helppo tehdä virhe toistamalla edellisen kohdan ideaa vahingossa. Neliöjuuri ottamalla saadaan aina +/- vaihtoehdot, jos eksponentti on parillinen, epäyhtälöissä on muistettava purkaminen oikein; esimerkiksi |x|<2 puretaan -2<x<2 mutta |x|>2 puretaankin x>2 tai x<-2! Yksinkertainen asia, mutta nopeassa tehtävässä hyvinkin yleistä erehtyä näissä, jos yrittää säästää aikaa.

Kakkostehtävässä vain yksi epäyhtälötehtävä, jossa kuitenkin pieni itseisarvolauseke seassa. Tarkastelu jaettava siis osiin tämän lausekkeen nollakohdan mukaisesti. Toisessa tapauksessa saadaan toisen asteen yhtälö, johon käytettävä ratkaisukaavaa. Tämän jälkeen on huomattava, että  paraabeli on negatiivinen vain nollakohtien välissä. Toisessa haarassa vakiotermit kumoutuvat, joten nollakohdat saadaan suoraviivaisemmin. Taas kerran epäyhtälö tosi nollakohtien välissä. Molemmissa tapauksissa on kuitenkin huomioitava itseisarvon poistamisen tuoma ehto, ja muokattava saatuja välejä sopivasti. Lopullisen vastauksen saa vielä yhdistämällä osatulokset mukavasti yhdeksi epäyhtälöksi. Simppeli tehtävä, jossa kuitenkin paljon tekemistä ja paraabelin muodolla muistettava perustella saadut välit.

Kolmostehtävän todennäköisyystehtävä on virheille altis. Jokaisessa kohdassa on huolellisesti mietittävä, mikä on se joukko, josta valinta tehdään ja kuinka monta milloinkin on niitä oikeita valintoja. Viimeinen kohta on hankalampi, sillä ensimmäinen valinta tehdään isommasta joukosta kuin toinen valinta. Tällöin on siis mahdollista, että 1. valinta on tehty myöskin siitä joukosta, mistä tehdään toinen valinta. On sis huomioitava kaksi erilaista tapaa 1. valinnalle, ja laskettava näiden tapausten todennäköisyyksien summa. Lisäksi kiinnitettävä huomiota toisessa tapauksessa siihen, millaisia määriä lamppuja onkaan jäljellä.

Nelostehtävä on melkoisen helppo. Ensimmäinen merkintä on uudennäköinen, mutta integraali kostautuu selkeäksi, kun katsoo huolella miten f ja g on annettu. Perusintegrointi, jossa oltava vain tarkkana miinusmerkkien kanssa alarajalla. Integroinnin tulos merkitään nollaksi, ja ratkaistaan toimiva arvo a.

Viitosessa tarvitsee hoksata ensin, kumpi käyristä on aina se ylempi käyrä, jotta saa etäisyysjanan muodostettua oikeinpäin. Muissa kohdissa tarvitaan etäisyyden derivaattaa, ja sen minimikohtaa etsitään asettamalla derivaatta nollaksi. Tässä kohtaa tutkintaa helpottaa jonkinlainen haarukointi; millä välillä minimin täytyy olla? Selvästi paraabelin arvot karkaavat suureksi, kun x:n itseisarvo kasvaa, kun taas toinen käyrä on aina korkeintaan neliöjuuri kahden suuruinen. Niinpä jo asettamalla |x|=2 paraabeli saa arvon 8, jolloin etäisyys on on vähintään 8 - neliöjuuri 2, mikä on suurempaa kuin etäisyys, kun x=0. Kun |x| kasvaa entisestään, niin etäisyys vain kasvaa kasvamistaan, joten minimietäisyys löytyy varmasti väliltä -2<x<2. Tämä on jo turvallinen väli, joten riittää tutkia vain ne nollakohdat, jotka mahtuvat tälle välille. Derivaatan nollakohtien etsinnässä on oltava tarkkana, jotta muistaa ottaa kosinille kaksi ratkaisuhaaraa, ja vielä pitää huomata, että tällöinkin mukana on vasta x:n neliö; se ei voi saada negatiivista arvoa, vaan toinen ratkaisuhaara on muunnettava positiiviseksi monikerran avulla. Tämä menee kuitenkin liian suureksi saadulle välille, joten nollakohtia jää tutkittavaksi vain 3kpl.

Kutostehtävässä on ensin osattava ratkaista ympyrän yhtälöstä y, ja sen jälkeen muodostettava tämän derivaatta tangenttia varten. Kulmakerroin edellyttää myös x-koordinaatin selvittämistä, kun ollaan korkeudella y=9/5, mikä voi helposti unohtua. Toisessa kohdassa on ensin muodostettava jokin paraabelin yhtälö, ja jotta sen voisi ratkaista, muodostettava lisäksi annettujen tietojen pohjalta 3 yhtälöä, jotka ovat voimassa paraabelin kertoimille. Syntyvän kolmen yhtälön ryhmän ratkaiseminen on työlästä, ja tuottaa ikäviä ratkaisuja (nimittäjänä 147). Yhtälöt saa muodostettua annetulla tiedolla maaosumasta, kun x=3 ja myös a)-kohdan tiedoilla tangentista (sama tangentti oltava, joten uuden paraabelin derivaatta samassa pisteessä oltava yhtä suuri) ja kyseisen pisteen kautta kulkemisesta.

Koe ei siis ole todellakaan mikään läpikävely, vaikka jokaisen tehtävän osaisikin periaatteellisella tasolla. Tehtävät sisältävät paljon kohtia, joissa vaaditaan perustelu seuraavalle prosessille. Nyrkkisääntö ratkaisemisessa onkin, että jos seuraava vaihe ei ole mekaaninen yhtälön sievennys tms. suoraviivainen operaatio, on aina syytä lyhyesti selittää/perustella, miksi tehdään se mitä seuraavaksi tehdään ja miksi näin voi tehdä. Esim. neliöjuuren ottaminen onnistuu, kunhan toinenkin puoli on ei-negatiivinen jne.

Pääsykoe on jo nurkan takana, ja nyt on aikaa enää lähinnä tehdä hyvin pieniä hienosäätöjä. Oleellisinta on löytää se mielentila, jossa on itse parhaimmillaan. Tunnillakin mainitsin ns. pingottamisen/stressaamisen sopivan lähinnä kilpailuhenkisille, jotka loistavat paineen alla. Puolestaan kokeissa heikommin yleensä suoriutuville ainoa keino on löytää sopiva asennoituminen; tämä on vain yksi koe monien joukossa, ja ainoa mitä voit tehdä on parhaasi juuri siinä hetkessä. Kenelläkään ei ole kuitenkaan mitään vaikutusvaltaa siihen, millaiset tehtävät nenän eteen tupsahtavat pääsykokeessa, joten liian pitkälle ei kannata asiaa miettiä.

Kiitos kaikille osallistujille kurssista. Oli ilo hikoilla kanssanne nämä kuukaudet, ja toivon kaikille teille menestystä jatkoa varten!

-Samuli

Matematiikka 21.5.

Tänään käytiin läpi simuloidun pääsykokeen tehtävien ratkaisut. Tehtävissä oli aika paljon ongelmia, mutta koe ei ollut ihan läpikävely.

- ykköstehtävässä 4 eri kohtaa, näistä a) ja c) 1p + b) ja d) 2p kohtia. Logaritmien pyörittelyissä tulee usein pieniä rokotettavia virheitä. Samoin c)-kohdan kaltaisen tehtävän yksinkertaisuus voi joskus hämmentää.

- Kakkostehtävässä potenssit on lähes aina paras esittää yhden kantaluvun potensseina, jos mahdollista. Tässä 2 ja 4 selvästi purkautuvat kantaluvun 2 potensseiksi. B) kohdassa on epäyhtälö, jossa on sekä neliöjuuri että itseisarvo. Potentiaalisia pistemenetyksen paikkoja ovat perustelujen puuttuminen; neliöönkorotus edellyttää aina merkkitarkastelua, ja neliöjuuren sisällä tietenkään ei saa olla negatiivista arvoa. Ilman näitä on puolet pisteistä jo menetetty 2p kohdasta. C) kohdan trigonometriatarkastelu on myös usein tyly; jos et muista toista ratkaisuhaaraa, maksimipisteesi ovat yleisesti ottaen puolet tehtävän pisteistä enää.

- Kolmostehtävän a) kohdassa on helppo muodostaa tilanne väärin, jolloin hyvin tod.näk. pisteet ovat pyöreät 0. B) kohta jostain syystä aika ilmainen 3p.

- Nelostehtävässä todennäköisyyslaskentaa klassisesti; nopanheitolla kaksi kerrointa toisen asteen yhtälöön. Ensin muodostettava reunaehto; ainakin yksi juuri tarkoittaa, että Diskriminantti ei ole negatiivinen. Sitten tutkitaan, millä tuloksilla ehto toteutuu.

- Vitostehtävässä on ensin osattava tulkita matkan rakentuminen oikein, ja muodostettava sitten oikein aikafunktio. Tämän jälkeen perinteinen ääriarvotehtävä. Tässä siis helppo mennä mönkään funktiota muodostettaessa.

- Kutostehtävä aikamoinen killeri. Integrointi, jossa itseisarvo sisällä ja toinen muuttuja seikkailee myös integrointirajoilla. Itseisarvolausekkeen tarkastelu johtaa integroinnin puolittamiseen kahteen osaväliin. Tämän jälkeen vielä pitäisi tajuta tutkia toisen muuttujan merkin vaikutus itseisarvon purkuihin. Todella haastava tehtävä, josta yli 3p saaminen olisi todella kova suoritus. Miten tämän voisi hoksata; ehkä siitä, että x on kuitenkin lopullisen vastausfunktion muuttuja; voisiko itseisarvon esiintyminen johtaa siihen, että f(x) on paloittain määritelty?

Matematiikka 14.5.

Tällä kertaa pidimme simuloidun pääsykokeen. Koe sisälsi pääsykokeen tapaan 6 tehtävää, ja apuvälineinä sai käyttää vain DIA-kokeessakin sallittua laskinta ja kaavakokoelmaa. Vaikkei tämän kokeen arvostelulla olekaan painoarvoa, niin tästä kuitenkin jokainen saa jonkinlaisen kuvan siitä, missä menee ainakin tässä kokeessa esiintyneiden osa-alueiden kohdalla. Vapaamuotoinen koetilanne voi olla myös omiaan lieventämään stressiä itse pääsykoetta varten; eihän sekään koe ole lopulta sen kummempi kuin tämäkään koe, vaikka sen tulokset ovatkin ratkaisevan tärkeät. Tilanteena se on kuitenkin vain yksi koe muiden joukossa.


Ensi viikolla sitten kokeiden palautukset ja pari kertauspäivää vielä loppuun.

Matematiikka 7.5.

Viimeisellä tunnilla ennen simuloitua pääsykoetta katseltiin lukujonoja ja sarjoja. Sisältöhän on nykyään sullottu yhteiselle matematiikan kurssille MAY01, jossa se hukkuu monen muun asian sekaan. Kaiken lisäksi kaavakokoelma ei tarjoa lainkaan apuja sarjojen summien muistamiseksi, joten aritmeettinen ja geometrinen summa on pystyttävä pistämään muistiin.

Tunnilla käytiin muutama tehtävä läpi. 11.12 esitteli sarjan, josta ei ensisilmäyksellä oikein löydy aritmeettisuutta tahi geometrisyyttä, mutta termejä järjestelemällä löytyy kaksikin aritmeettista sarjaa. Tämän jälkeen jäi vielä omatoimiseksi ongelmaksi selvittää, miten määriteltäisiin indeksin n avulla kyseiset summat, koska satunnainen n voi olla joko pariton tahi parillinen. Tässä malliesimerkki tehtävästä, joka on aluksi hankalahko avata ja ahaa-elämyksen jälkeenkin on vielä pohdittavaa, miten homma oikein viedään maaliin asti.

Tuoreemmat tehtävät 11.27 ja 11.28 olivat 6. tehtäviä omina vuosinaan. Molemmat osoittautuivat kuitenkin hyvin kepeiksi vaikeustasoltaan. Tehtävässä 27 riitti avata annettua sarjaa; huomattiin jäljelle jäävän vain viimeisimmän ja ensimmäisen termin erotus keskimmäisten termien kumoutuessa pois sopivasti. Tähän vain sijoitukset, ja 6p olisi kasassa. Tehtävässä 28 joutuu sentään vähän laskemaankin, mutta tehtävä aukeaa suoraan huomaamalla ensin, että kyseessä on aritmeettinen lukujono ja käyttämällä sen jälkeen kyseisten lukujonojen peräkkäisten termien erotuksen ominaisuutta.

Vaikeimmat osion tehtävät lienevätkin sivujen 154-155 vanhemmat sanalliset tehtävät, joissa tehtävänannon kääntäminen matemaattiseen muotoon osoittautuu monessa kohti hankalaksi. Tuoreimmissa tehtävissä tehtävänannot ovat kuitenkin olleet varsin selkeitä, toivotaan saman jatkuvan mikäli sarjoja pääsykokeeseen eksyy.

Matematiikka 3.5.

Toisella todennäköisyyslaskennan kerralla käytiin aluksi läpi hieman tuoreempia tehtäviä. 10.33 tehtävässä pelataan jääkiekkomestaruudesta paras seitsemästä -järjestelmällä. B-kohdassa selvitettävä joukkueen A mestaruuden TN tuntuu selkeältä rakentaa, mutta tässä on helppo unohtaa järkeillä variaatiot oikein. Jokainen mestaruus vaatii, että A voittaa kussakin skenaariossa ratkaisevan viimeisen pelin, ja vain sitä edeltävät pelit voivat mennä kummalle joukkueelle vain kunkin skenaarion rajoissa tietenkin.

Tehtävä 10.38 on osion vaikein, koska ehdollisia todennäköisyyksiä ei käsitellä niin paljoa. Tämänkaltaisten tehtävien ratkonnassa on erityisen tärkeää kirjoittaa auki tehtävänannon tiedot paperille ennenkuin lähtee rakentamaan ratkaisumallia. Tuntikalvoilla kävimme ratkaisun läpi vaiheittain, eikä se tosiaankaan tunnu kovinkaan hankalalta, kun tehtävä on purettu osiin. Tehtävään vaikeutta tuo se, että käsiteltäviä vuosia on b-kohdassa 3 kpl ja ehdollisuuksia muodostuu kaksi eri tilannetta, sillä keskimmäisen vuoden terveystilannetta ei ole määrätty; on siis tutkittava molemmat vaihtoehdot erikseen. Näiden kummankin vaihtoehdon sisällä on huomattava, että lopullinen TN on kaksiosainen; vuonna 2012 ollaan T / S ehdolla, että 2011 oltiin T ja vielä 2013 ollaan S ehdolla, että 2011 oltiin T JA 2012 oltiin T / S. Juuri tämä on se, joka usein jää huomioimatta ehdollisuuksissa, jotka rakentuvat pitemmälle välille kuin kahdelle tarkastelujaksolle.

Lopuksi tehtävässä 10.40 mentiin tien yli suorilla tai vinoilla askelilla. Ensimmäisenä on selvitettävä, kuinka paljon vinoilla askeleilla edetään suorassa suunnassa; tämä aukeaisi nopeasti muistikolmion avulla. Sen jälkeen on tehtävä rajaukset; askeleiden maksimimäärä on 12 ja nopeasti huomataan, että vähintään askeleita kertyy 11. Tässä kohtaa ratkaisumallin löytäminen voi tuntua hankalalta; yleinen sääntö vastaaviin tehtäviin on, että tutki ensin mitä voi tapahtua niiden askeleiden aikana, jolloin ei vielä ylitetä tietä. Tässä tehtävässä siis 10 ensimmäistä askelta eli suurin määrä askeleita, jolla ei vielä ylitetä tietä. Koska 12 on askeleiden maksimi, on pääteltävä, että vähintään 9 suoraa askelta on oltava lopullisessa skenaariossa. Näin ollen ensimmäisten 10 askeleen aikana on otettava vähintään 7 suoraa askelta. Tämän jälkeen kukin neljästä variaatiosta on vielä käsiteltävä; millä TN kukin skenaario päättyy siihen, että tie ylitetään.

Näiden mallivastaukset löytyvät tuntikalvoilta, ja koko TN-osion malliratkaisut löytyvät jakokansiosta. Osa niistä on varmasti hyvin samankaltaisia ratkaisukirjan kanssa, mutta joihinkin tehtäviin voi löytyä hyvinkin erilainen ratkaisumalli. TN-tehtävissä on usein moniakin eri tapoja päästä maaliin.

Matematiikka 26.4.

Toiseksi viimeisen kappaleen aiheena Todennäköisyyslaskenta. Aihe on hyvin erilainen kaikkiin muihin nähden, ja sen myötä usein haastava. Tehtävien periaatteet eivät oikein yhdisty muiden aihepiirien tehtäviin, joten tarvittavien kaavojen muistaminen osoittautuu hankalaksi. Samoin, tehtävissä on joskus vaikea muodostaa selkeä kuva siitä, miten ratkaistava todennäköisyys oikein saadaan muodostettua.

Haastavaa on usein päätellä, onko tehtävässä kyse tilanteessa, jossa valintoja tehdään järjestys huomioiden vai ilman järjestystä. Lisäksi binomikaavan opettelu johtaa usein tilanteisiin, jolloin sitä yrittää "väkisin" käyttää, vaikkei tehtävässä sitä edellytetäkään. On siis opittava tulkitsemaan sanallisia tehtävänantoja, ja pystyttävä päättelemään, mitä ratkaisumallia riittää / täytyy käyttää.

Tehtävät 10.27 saakka ovat pääosin hyviä kertaus- ja harjoittelutehtäviä. Loppupään sanalliset tehtävät edustavat tyypillisempiä nykyaikaisia todennäköisyystehtäviä. Osion kaikista tehtävistä löytyy vain jokunen erityisen haastava, jos todennäköisyyslaskennan periaatteet on hyvin hallussa. Muutoin kinkkisiä tehtäviä kyllä riittää...

Matematiikka 23.4.

Integroinnin toinen osuus. Tunnilla puhuttiin hieman esimerkkitehtävien myötä itseisarvointegroinneista ja trigonometrisista funktioista. Nämä ovat molemmat potentiaalisia tärppejä integrointitehtävien suhteen; trigonometriset funktiot esiintyvät kokeessa kokolailla varmasti ainakin yhdessä tehtävässä kuten myös itseisarvotkin. Näiden tehtävien ratkonta vaatii usein keskittymistä etenkin alkuvaiheessa, jotta rajaukset saa tehtyä oikein.

Tehtävien seasta löytyi erilaisia "helmiä". Esimerkkeinä vaikkapa tehtävä 9.54, joka 6. tehtävänä on erittäin vaatimaton vaikeustasoltaan moniin muihin verrattuna, ja toisaalta tehtävä 9.45, joka 1. tehtävänä osoittautuukin kohtalaiseksi pähkinäksi. On siis syytä taas kerran muistaa, että kaikki tehtävät on luettava ajatuksella, sillä numero ei suoraan kerro tehtävän vaikeustasoa.

Seuraavalla kerralla siirrytään todennäköisyyksien maailmaan. Integrointitehtävien ratkaisuja on luvassa lisää jakokansioon, kunhan niitä saan pakerrettua digimuotoon..