Matematiikka 24.5.

Viimeisellä kerralla lähdettiin tekemään vielä viime kevään matematiikan pääsykoetta. Tehtäväthän on kurssilla jo vastaantulleet, jos on tehnyt sopivat tehtävät kirjasta, mutta harvoinpa nämä yhdellä tekemällä ulkomuistista tulevat toisella kerralla vielä.

Kokeessa ykköstehtävä on sikäli visainen, että se sisältää peräti kuusi alakohtaa. Kustakin pisteestä joutuu siis tekemään oman tehtävänsä. Näissä tehtävissä on aina suuri riski menettää helppoja pisteitä; tässäkin kohdat ovat pääpiirteittäin hyvin yksinkertaisia, mutta samankaltaisina tehtävinä näissä on helppo tehdä virhe toistamalla edellisen kohdan ideaa vahingossa. Neliöjuuri ottamalla saadaan aina +/- vaihtoehdot, jos eksponentti on parillinen, epäyhtälöissä on muistettava purkaminen oikein; esimerkiksi |x|<2 puretaan -2<x<2 mutta |x|>2 puretaankin x>2 tai x<-2! Yksinkertainen asia, mutta nopeassa tehtävässä hyvinkin yleistä erehtyä näissä, jos yrittää säästää aikaa.

Kakkostehtävässä vain yksi epäyhtälötehtävä, jossa kuitenkin pieni itseisarvolauseke seassa. Tarkastelu jaettava siis osiin tämän lausekkeen nollakohdan mukaisesti. Toisessa tapauksessa saadaan toisen asteen yhtälö, johon käytettävä ratkaisukaavaa. Tämän jälkeen on huomattava, että  paraabeli on negatiivinen vain nollakohtien välissä. Toisessa haarassa vakiotermit kumoutuvat, joten nollakohdat saadaan suoraviivaisemmin. Taas kerran epäyhtälö tosi nollakohtien välissä. Molemmissa tapauksissa on kuitenkin huomioitava itseisarvon poistamisen tuoma ehto, ja muokattava saatuja välejä sopivasti. Lopullisen vastauksen saa vielä yhdistämällä osatulokset mukavasti yhdeksi epäyhtälöksi. Simppeli tehtävä, jossa kuitenkin paljon tekemistä ja paraabelin muodolla muistettava perustella saadut välit.

Kolmostehtävän todennäköisyystehtävä on virheille altis. Jokaisessa kohdassa on huolellisesti mietittävä, mikä on se joukko, josta valinta tehdään ja kuinka monta milloinkin on niitä oikeita valintoja. Viimeinen kohta on hankalampi, sillä ensimmäinen valinta tehdään isommasta joukosta kuin toinen valinta. Tällöin on siis mahdollista, että 1. valinta on tehty myöskin siitä joukosta, mistä tehdään toinen valinta. On sis huomioitava kaksi erilaista tapaa 1. valinnalle, ja laskettava näiden tapausten todennäköisyyksien summa. Lisäksi kiinnitettävä huomiota toisessa tapauksessa siihen, millaisia määriä lamppuja onkaan jäljellä.

Nelostehtävä on melkoisen helppo. Ensimmäinen merkintä on uudennäköinen, mutta integraali kostautuu selkeäksi, kun katsoo huolella miten f ja g on annettu. Perusintegrointi, jossa oltava vain tarkkana miinusmerkkien kanssa alarajalla. Integroinnin tulos merkitään nollaksi, ja ratkaistaan toimiva arvo a.

Viitosessa tarvitsee hoksata ensin, kumpi käyristä on aina se ylempi käyrä, jotta saa etäisyysjanan muodostettua oikeinpäin. Muissa kohdissa tarvitaan etäisyyden derivaattaa, ja sen minimikohtaa etsitään asettamalla derivaatta nollaksi. Tässä kohtaa tutkintaa helpottaa jonkinlainen haarukointi; millä välillä minimin täytyy olla? Selvästi paraabelin arvot karkaavat suureksi, kun x:n itseisarvo kasvaa, kun taas toinen käyrä on aina korkeintaan neliöjuuri kahden suuruinen. Niinpä jo asettamalla |x|=2 paraabeli saa arvon 8, jolloin etäisyys on on vähintään 8 - neliöjuuri 2, mikä on suurempaa kuin etäisyys, kun x=0. Kun |x| kasvaa entisestään, niin etäisyys vain kasvaa kasvamistaan, joten minimietäisyys löytyy varmasti väliltä -2<x<2. Tämä on jo turvallinen väli, joten riittää tutkia vain ne nollakohdat, jotka mahtuvat tälle välille. Derivaatan nollakohtien etsinnässä on oltava tarkkana, jotta muistaa ottaa kosinille kaksi ratkaisuhaaraa, ja vielä pitää huomata, että tällöinkin mukana on vasta x:n neliö; se ei voi saada negatiivista arvoa, vaan toinen ratkaisuhaara on muunnettava positiiviseksi monikerran avulla. Tämä menee kuitenkin liian suureksi saadulle välille, joten nollakohtia jää tutkittavaksi vain 3kpl.

Kutostehtävässä on ensin osattava ratkaista ympyrän yhtälöstä y, ja sen jälkeen muodostettava tämän derivaatta tangenttia varten. Kulmakerroin edellyttää myös x-koordinaatin selvittämistä, kun ollaan korkeudella y=9/5, mikä voi helposti unohtua. Toisessa kohdassa on ensin muodostettava jokin paraabelin yhtälö, ja jotta sen voisi ratkaista, muodostettava lisäksi annettujen tietojen pohjalta 3 yhtälöä, jotka ovat voimassa paraabelin kertoimille. Syntyvän kolmen yhtälön ryhmän ratkaiseminen on työlästä, ja tuottaa ikäviä ratkaisuja (nimittäjänä 147). Yhtälöt saa muodostettua annetulla tiedolla maaosumasta, kun x=3 ja myös a)-kohdan tiedoilla tangentista (sama tangentti oltava, joten uuden paraabelin derivaatta samassa pisteessä oltava yhtä suuri) ja kyseisen pisteen kautta kulkemisesta.

Koe ei siis ole todellakaan mikään läpikävely, vaikka jokaisen tehtävän osaisikin periaatteellisella tasolla. Tehtävät sisältävät paljon kohtia, joissa vaaditaan perustelu seuraavalle prosessille. Nyrkkisääntö ratkaisemisessa onkin, että jos seuraava vaihe ei ole mekaaninen yhtälön sievennys tms. suoraviivainen operaatio, on aina syytä lyhyesti selittää/perustella, miksi tehdään se mitä seuraavaksi tehdään ja miksi näin voi tehdä. Esim. neliöjuuren ottaminen onnistuu, kunhan toinenkin puoli on ei-negatiivinen jne.

Pääsykoe on jo nurkan takana, ja nyt on aikaa enää lähinnä tehdä hyvin pieniä hienosäätöjä. Oleellisinta on löytää se mielentila, jossa on itse parhaimmillaan. Tunnillakin mainitsin ns. pingottamisen/stressaamisen sopivan lähinnä kilpailuhenkisille, jotka loistavat paineen alla. Puolestaan kokeissa heikommin yleensä suoriutuville ainoa keino on löytää sopiva asennoituminen; tämä on vain yksi koe monien joukossa, ja ainoa mitä voit tehdä on parhaasi juuri siinä hetkessä. Kenelläkään ei ole kuitenkaan mitään vaikutusvaltaa siihen, millaiset tehtävät nenän eteen tupsahtavat pääsykokeessa, joten liian pitkälle ei kannata asiaa miettiä.

Kiitos kaikille osallistujille kurssista. Oli ilo hikoilla kanssanne nämä kuukaudet, ja toivon kaikille teille menestystä jatkoa varten!

-Samuli

Matematiikka 21.5.

Tänään käytiin läpi simuloidun pääsykokeen tehtävien ratkaisut. Tehtävissä oli aika paljon ongelmia, mutta koe ei ollut ihan läpikävely.

- ykköstehtävässä 4 eri kohtaa, näistä a) ja c) 1p + b) ja d) 2p kohtia. Logaritmien pyörittelyissä tulee usein pieniä rokotettavia virheitä. Samoin c)-kohdan kaltaisen tehtävän yksinkertaisuus voi joskus hämmentää.

- Kakkostehtävässä potenssit on lähes aina paras esittää yhden kantaluvun potensseina, jos mahdollista. Tässä 2 ja 4 selvästi purkautuvat kantaluvun 2 potensseiksi. B) kohdassa on epäyhtälö, jossa on sekä neliöjuuri että itseisarvo. Potentiaalisia pistemenetyksen paikkoja ovat perustelujen puuttuminen; neliöönkorotus edellyttää aina merkkitarkastelua, ja neliöjuuren sisällä tietenkään ei saa olla negatiivista arvoa. Ilman näitä on puolet pisteistä jo menetetty 2p kohdasta. C) kohdan trigonometriatarkastelu on myös usein tyly; jos et muista toista ratkaisuhaaraa, maksimipisteesi ovat yleisesti ottaen puolet tehtävän pisteistä enää.

- Kolmostehtävän a) kohdassa on helppo muodostaa tilanne väärin, jolloin hyvin tod.näk. pisteet ovat pyöreät 0. B) kohta jostain syystä aika ilmainen 3p.

- Nelostehtävässä todennäköisyyslaskentaa klassisesti; nopanheitolla kaksi kerrointa toisen asteen yhtälöön. Ensin muodostettava reunaehto; ainakin yksi juuri tarkoittaa, että Diskriminantti ei ole negatiivinen. Sitten tutkitaan, millä tuloksilla ehto toteutuu.

- Vitostehtävässä on ensin osattava tulkita matkan rakentuminen oikein, ja muodostettava sitten oikein aikafunktio. Tämän jälkeen perinteinen ääriarvotehtävä. Tässä siis helppo mennä mönkään funktiota muodostettaessa.

- Kutostehtävä aikamoinen killeri. Integrointi, jossa itseisarvo sisällä ja toinen muuttuja seikkailee myös integrointirajoilla. Itseisarvolausekkeen tarkastelu johtaa integroinnin puolittamiseen kahteen osaväliin. Tämän jälkeen vielä pitäisi tajuta tutkia toisen muuttujan merkin vaikutus itseisarvon purkuihin. Todella haastava tehtävä, josta yli 3p saaminen olisi todella kova suoritus. Miten tämän voisi hoksata; ehkä siitä, että x on kuitenkin lopullisen vastausfunktion muuttuja; voisiko itseisarvon esiintyminen johtaa siihen, että f(x) on paloittain määritelty?

Matematiikka 14.5.

Tällä kertaa pidimme simuloidun pääsykokeen. Koe sisälsi pääsykokeen tapaan 6 tehtävää, ja apuvälineinä sai käyttää vain DIA-kokeessakin sallittua laskinta ja kaavakokoelmaa. Vaikkei tämän kokeen arvostelulla olekaan painoarvoa, niin tästä kuitenkin jokainen saa jonkinlaisen kuvan siitä, missä menee ainakin tässä kokeessa esiintyneiden osa-alueiden kohdalla. Vapaamuotoinen koetilanne voi olla myös omiaan lieventämään stressiä itse pääsykoetta varten; eihän sekään koe ole lopulta sen kummempi kuin tämäkään koe, vaikka sen tulokset ovatkin ratkaisevan tärkeät. Tilanteena se on kuitenkin vain yksi koe muiden joukossa.


Ensi viikolla sitten kokeiden palautukset ja pari kertauspäivää vielä loppuun.

Matematiikka 7.5.

Viimeisellä tunnilla ennen simuloitua pääsykoetta katseltiin lukujonoja ja sarjoja. Sisältöhän on nykyään sullottu yhteiselle matematiikan kurssille MAY01, jossa se hukkuu monen muun asian sekaan. Kaiken lisäksi kaavakokoelma ei tarjoa lainkaan apuja sarjojen summien muistamiseksi, joten aritmeettinen ja geometrinen summa on pystyttävä pistämään muistiin.

Tunnilla käytiin muutama tehtävä läpi. 11.12 esitteli sarjan, josta ei ensisilmäyksellä oikein löydy aritmeettisuutta tahi geometrisyyttä, mutta termejä järjestelemällä löytyy kaksikin aritmeettista sarjaa. Tämän jälkeen jäi vielä omatoimiseksi ongelmaksi selvittää, miten määriteltäisiin indeksin n avulla kyseiset summat, koska satunnainen n voi olla joko pariton tahi parillinen. Tässä malliesimerkki tehtävästä, joka on aluksi hankalahko avata ja ahaa-elämyksen jälkeenkin on vielä pohdittavaa, miten homma oikein viedään maaliin asti.

Tuoreemmat tehtävät 11.27 ja 11.28 olivat 6. tehtäviä omina vuosinaan. Molemmat osoittautuivat kuitenkin hyvin kepeiksi vaikeustasoltaan. Tehtävässä 27 riitti avata annettua sarjaa; huomattiin jäljelle jäävän vain viimeisimmän ja ensimmäisen termin erotus keskimmäisten termien kumoutuessa pois sopivasti. Tähän vain sijoitukset, ja 6p olisi kasassa. Tehtävässä 28 joutuu sentään vähän laskemaankin, mutta tehtävä aukeaa suoraan huomaamalla ensin, että kyseessä on aritmeettinen lukujono ja käyttämällä sen jälkeen kyseisten lukujonojen peräkkäisten termien erotuksen ominaisuutta.

Vaikeimmat osion tehtävät lienevätkin sivujen 154-155 vanhemmat sanalliset tehtävät, joissa tehtävänannon kääntäminen matemaattiseen muotoon osoittautuu monessa kohti hankalaksi. Tuoreimmissa tehtävissä tehtävänannot ovat kuitenkin olleet varsin selkeitä, toivotaan saman jatkuvan mikäli sarjoja pääsykokeeseen eksyy.

Matematiikka 3.5.

Toisella todennäköisyyslaskennan kerralla käytiin aluksi läpi hieman tuoreempia tehtäviä. 10.33 tehtävässä pelataan jääkiekkomestaruudesta paras seitsemästä -järjestelmällä. B-kohdassa selvitettävä joukkueen A mestaruuden TN tuntuu selkeältä rakentaa, mutta tässä on helppo unohtaa järkeillä variaatiot oikein. Jokainen mestaruus vaatii, että A voittaa kussakin skenaariossa ratkaisevan viimeisen pelin, ja vain sitä edeltävät pelit voivat mennä kummalle joukkueelle vain kunkin skenaarion rajoissa tietenkin.

Tehtävä 10.38 on osion vaikein, koska ehdollisia todennäköisyyksiä ei käsitellä niin paljoa. Tämänkaltaisten tehtävien ratkonnassa on erityisen tärkeää kirjoittaa auki tehtävänannon tiedot paperille ennenkuin lähtee rakentamaan ratkaisumallia. Tuntikalvoilla kävimme ratkaisun läpi vaiheittain, eikä se tosiaankaan tunnu kovinkaan hankalalta, kun tehtävä on purettu osiin. Tehtävään vaikeutta tuo se, että käsiteltäviä vuosia on b-kohdassa 3 kpl ja ehdollisuuksia muodostuu kaksi eri tilannetta, sillä keskimmäisen vuoden terveystilannetta ei ole määrätty; on siis tutkittava molemmat vaihtoehdot erikseen. Näiden kummankin vaihtoehdon sisällä on huomattava, että lopullinen TN on kaksiosainen; vuonna 2012 ollaan T / S ehdolla, että 2011 oltiin T ja vielä 2013 ollaan S ehdolla, että 2011 oltiin T JA 2012 oltiin T / S. Juuri tämä on se, joka usein jää huomioimatta ehdollisuuksissa, jotka rakentuvat pitemmälle välille kuin kahdelle tarkastelujaksolle.

Lopuksi tehtävässä 10.40 mentiin tien yli suorilla tai vinoilla askelilla. Ensimmäisenä on selvitettävä, kuinka paljon vinoilla askeleilla edetään suorassa suunnassa; tämä aukeaisi nopeasti muistikolmion avulla. Sen jälkeen on tehtävä rajaukset; askeleiden maksimimäärä on 12 ja nopeasti huomataan, että vähintään askeleita kertyy 11. Tässä kohtaa ratkaisumallin löytäminen voi tuntua hankalalta; yleinen sääntö vastaaviin tehtäviin on, että tutki ensin mitä voi tapahtua niiden askeleiden aikana, jolloin ei vielä ylitetä tietä. Tässä tehtävässä siis 10 ensimmäistä askelta eli suurin määrä askeleita, jolla ei vielä ylitetä tietä. Koska 12 on askeleiden maksimi, on pääteltävä, että vähintään 9 suoraa askelta on oltava lopullisessa skenaariossa. Näin ollen ensimmäisten 10 askeleen aikana on otettava vähintään 7 suoraa askelta. Tämän jälkeen kukin neljästä variaatiosta on vielä käsiteltävä; millä TN kukin skenaario päättyy siihen, että tie ylitetään.

Näiden mallivastaukset löytyvät tuntikalvoilta, ja koko TN-osion malliratkaisut löytyvät jakokansiosta. Osa niistä on varmasti hyvin samankaltaisia ratkaisukirjan kanssa, mutta joihinkin tehtäviin voi löytyä hyvinkin erilainen ratkaisumalli. TN-tehtävissä on usein moniakin eri tapoja päästä maaliin.

Matematiikka 26.4.

Toiseksi viimeisen kappaleen aiheena Todennäköisyyslaskenta. Aihe on hyvin erilainen kaikkiin muihin nähden, ja sen myötä usein haastava. Tehtävien periaatteet eivät oikein yhdisty muiden aihepiirien tehtäviin, joten tarvittavien kaavojen muistaminen osoittautuu hankalaksi. Samoin, tehtävissä on joskus vaikea muodostaa selkeä kuva siitä, miten ratkaistava todennäköisyys oikein saadaan muodostettua.

Haastavaa on usein päätellä, onko tehtävässä kyse tilanteessa, jossa valintoja tehdään järjestys huomioiden vai ilman järjestystä. Lisäksi binomikaavan opettelu johtaa usein tilanteisiin, jolloin sitä yrittää "väkisin" käyttää, vaikkei tehtävässä sitä edellytetäkään. On siis opittava tulkitsemaan sanallisia tehtävänantoja, ja pystyttävä päättelemään, mitä ratkaisumallia riittää / täytyy käyttää.

Tehtävät 10.27 saakka ovat pääosin hyviä kertaus- ja harjoittelutehtäviä. Loppupään sanalliset tehtävät edustavat tyypillisempiä nykyaikaisia todennäköisyystehtäviä. Osion kaikista tehtävistä löytyy vain jokunen erityisen haastava, jos todennäköisyyslaskennan periaatteet on hyvin hallussa. Muutoin kinkkisiä tehtäviä kyllä riittää...

Matematiikka 23.4.

Integroinnin toinen osuus. Tunnilla puhuttiin hieman esimerkkitehtävien myötä itseisarvointegroinneista ja trigonometrisista funktioista. Nämä ovat molemmat potentiaalisia tärppejä integrointitehtävien suhteen; trigonometriset funktiot esiintyvät kokeessa kokolailla varmasti ainakin yhdessä tehtävässä kuten myös itseisarvotkin. Näiden tehtävien ratkonta vaatii usein keskittymistä etenkin alkuvaiheessa, jotta rajaukset saa tehtyä oikein.

Tehtävien seasta löytyi erilaisia "helmiä". Esimerkkeinä vaikkapa tehtävä 9.54, joka 6. tehtävänä on erittäin vaatimaton vaikeustasoltaan moniin muihin verrattuna, ja toisaalta tehtävä 9.45, joka 1. tehtävänä osoittautuukin kohtalaiseksi pähkinäksi. On siis syytä taas kerran muistaa, että kaikki tehtävät on luettava ajatuksella, sillä numero ei suoraan kerro tehtävän vaikeustasoa.

Seuraavalla kerralla siirrytään todennäköisyyksien maailmaan. Integrointitehtävien ratkaisuja on luvassa lisää jakokansioon, kunhan niitä saan pakerrettua digimuotoon..

Matematiikka 19.4.

Tänään aloiteltiin integrointiurakkaa. Aihe on varsin kaksijakoinen; monelle se menee sujuvasti, jos derivointitehtävät ovat hyvin hallussa ja osalle integrointi on tuskien taivallusta. Vaikka suhde derivointiinkin onkin läheinen ja ilmiselvä, niin ajattelun kääntäminen toiseen suuntaan ei aina ole niin helppoa.

Teoriaosan perinteisten integrointisääntöjen osaaminen on oleellista, sillä usein tehtävissä vaaditaan ensin vaativampia keinoja, jotta päästään siihen mekaaniseen loppuintegrointiin. Tehtävien seassa on kyllä tuskaisiakin integrointeja, kuten esimerkiksi tehtävässä 9.7. Tässä on muistettava hieman trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja, jotta homman saa avattua; tuolloinkin tekemistä on moneen välivaiheeseen.

Monissa tehtävissä on onnistuttava muokkaamaan integroitava funktio ensin sellaiseen muotoon, johon voidaan soveltaa jotakin tunnettua sääntöä. Tällöin yleensä menettelynä on osoittajan muokkaaminen sellaiseksi, että sinne saadaan muodostettua vastaavia tekijöitä kuin nimittäjästä löytyy. Mikäli nimittäjän polynomi saadaan esitettyä 1. asteen polynomien tulona, niin pilkkomisen seurauksena voi hyvinkin olla luonnollisen logaritmin derivaattoja.

Yleisimpiä tehtäviä ovat erilaiset pinta-alan tai tilavuuden selvittämiset. Tällöin pääsääntöisesti lähdetään liikkeelle etsimällä tehtävässä esiintyvien käyrien leikkauspisteitä. Etenkin pyörähdyskappaleiden kohdalla on oltava tarkkana, miten annettua funktiota käsittelee. Yleisimmässä muodossa pyörähdetään x-akselin eli käyrän y=0 ympäri; tuolloin varsinainen käyräkin on ratkaistava nimenomaan y:n suhteen. Vastaavasti, jos pyörähdetään y-akselin tai vaikka x=2 ympäri, niin varsinainen käyrä on ratkaistava x:n suhteen.

Oleellista on myös usein selvittää perustellen, miksi esimerkiksi pinta-alatehtävissä toinen käyristä on toisen yläpuolella annetulla välillä. Usein tämä on selkeästi todettavissa, joskus voi ottaa osaväleiltä sopivia pisteitä, joissa laskee käyrien arvot ja toteaa toisen olevan osavälillä aina suurempi/pienempi. On kuitenkin intuitiivisesti selkeää, että osavälillä järjestys on aina sama, koska muutoin osavälillä olisikin jokin toinenkin nollakohta.

Matematiikka 16.4.

Maanantaina katseltiin Differentiaalilaskentaa vielä kerran, tällä kertaa tuoreimpia koetehtäviä.

Aluksi esittelin kolme erilaista 6. tehtävää menneiltä vuosilta, joilla oli ajallisesti eroa 20v: 8.50 , 8.59 ja 8.66.

Näistä 8.59 oli todella suoraviivainen tehtävä, joka ratkeaa suoraan liikkeelle lähtemällä. Se ei siis toisin sanoen täytä sitä mielikuvaa, mikä on odotusarvoisesti vaikeimmasta tehtävästä.

8.66 tehtävässä a)-kohta on hyvin selkeä. Samoin b)-kohdan ajattelu on hyvin suoraviivaista, mutta hieman joutuu pohtimaan saman tangentin olemassaoloa kuin a)-kohdassa. Syntyvä kolmen yhtälön ryhmä tuottaa hankalia murtolukuja; näiden ratkaiseminen ei ole aina yksinkertaista ilman apuvälineitä.

Tehtävä 8.50 on kuitenkin näistä kolmesta selvästi vaikein. Tässä on tehtävä ensin hankalahkoa päättelytyötä, jotta saa muodostettua lauseen pisteen B kulkukäyrän derivaatalle. Sen jälkeen on onnistuttava derivoimaan hankala funktio f(x); tässä pyörittelyssä on kovin helppo tehdä virheitä. Tämän funktion derivointi onkin erinomaista harjoittelua.

Jakokansiossa on hieman lisää ratkaisuja loppupään tehtäviin, pitkä linkki kansioon vielä tässä:

https://drive.google.com/drive/folders/1NsVnso1rkdXs0K_6HEguWkvNEOUJojBC?usp=sharing

Ensi kerralla sitten integrointia.

Matematiikka 12.4.

Torstaina jatkettiin differentiaalilaskennan tehtäviä eteenpäin. Tunnin aluksi näytin kalvoilta 4 erilaista tehtävää läpi, ja lopputunti jatkettiin omia valintoja eteenpäin. Kalvot löytyvät jakokansiosta, ja siellä on myös muutamaan muuhunkin tehtävään jonkinlainen malliratkaisu nähtävillä.


Luvussa on tosiaan tehtäviä 66, mutta kuten tunnilla huomattiin, niin seassa on myös tehtäviä - kuten 8.26 - joissa ei tarvita differentiaalilaskentaa lainkaan. Tämä tehtävä on oikein hyvä ongelmanratkaisutehtävä, mutta ratkeaa ajatuksen löydyttyä ihan perinteisillä yhtälönratkaisun menetelmillä.


Maanantaina jatketaan vielä kerran tätä lukua käsitellen, tuolloin keskitytään osion loppupään tehtäviin eli kaikkein tuoreimpiin pääsykoetehtäviin.

Matematiikka 9.4.

Maanantaina aloitettiin tehtävien osalta melko mammuttimainen luku 8 Differentiaalilaskenta.

Sanallisten tehtävien tyyli on nykyään yhä yleisimmin se, että tekstistä on pystyttävä ensin itse rakentamaan funktio(t), jota lähdetään tutkimaan derivaatan avulla. Teoriaosuudessa kerrataankin ensin yleisimmin tarvittavat derivointisäännöt; näistä kutakuinkin kaikki tulisi osata "mennentullen", koska yleisesti ottaen itse derivointi on näissä tehtävissä vain yksi mekaaninen osa tehtävän ratkaisua. Suurin vaikeus on yleensä tutkittavan funktion muodostaminen. On myös syytä olla tarkkana erityisesti tehtävissä, joissa on annettu funktio jo valmiiksi. Kysytäänkö tehtävänannossa sellaista, joka selviää suoraan tätä annettua funktiota derivoimalla vai liittyykö ongelma todellisuudessa annetun funktion derivaattafunktioon, jota on lähdettävä tutkimaan toisen derivaatan kautta?

Teoriakirjan esimerkki 8.1 on hyvä esimerkki tehtävästä, jossa on hieman osattava soveltaa derivoinnin ketjusääntöä. Tästä on myös suoraan vastaava tehtävä 8.16, joka on hyvä tehdä idean hahmottaakseen. Ennen seuraavaa kertaa 2 ensimmäistä tehtäväsivua ovat "vapaata riistaa". Lukua käydään 3 kertaa, joten kepeät parikymmentä tehtävää per kerta on tehtäviä keskimäärin jaossa! :) Kaikkia ei tietenkään ehditä käymään läpi tai tehdä muutenkaan tunneilla, mutta laittelen joihinkin tehtäviin omia ratkaisujani taas jakokansioon sellaisista tehtävistä, joihin on vastauskirjan tekotapaan nähden toisenlainenkin vaihtoehto tarjolla. Muistaa vastauskirjaa katsellessa pistää merkkejä kohtiin, joissa on oiottu välivaiheita siten, ettette meinaa nähdä mitä on tehty. Näistä on hyvä kysyä tunneilla, niin yritetään yhdessä löytää tekijän logiikka lisävälivaiheilla.

Matematiikka 5.4.

Tänään jatkettiin raja-arvojen pyörittelyä. Tuntikalvoilla jakokansiossa on taas näkyvillä tunnilla esitellyt tehtävät.

Tehtävässä 7.12 on oleellista huomata, ettei vasemmanpuoleista raja-arvoa ole määritelty, koska neliöjuuren sisällä oleva lauseke on tuolloin negatiivinen. Oikealla puolelle on puolestaan huomattava, että nimittäjä saadaan jaettua tekijöihin, koska x=3 on sen nollakohta. Osoittajastakin saadaan yksi x otettua ulos, ja näin on saatu "eristettyä" kaksi termiä, jotka lähestyvät äärellisiä arvoja, kun x -> 3.

Tehtävässä 7.18 päästään liittoluvulla laventamisella varsin sekaviin lausekkeisiin.  Koska x lähestyy ääretöntä, niin yleensä parasta on pyrkiä ottamaan yhteinen tekijä, joka saadaan supistettua pois. Nimittäjästä nähdään, että voidaan pyrkiä ottamaan vain x ulos, ja se pitää tehdä neliöjuurilausekkeissa on x^2 avulla juuren sisäpuolella. Tämän jälkeen ongelmallisinta on miettiä osoittajan pitkää lauseketta. Ryhmittelemällä lauseke saadaan kolmeen osaan, ja voidaan päätellä tie maaliin.

Luvun ehkä kiintoisin päättelytehtävä on 7.21. Tässä ei paljoa raja-arvolla tarvitse leikkiä, mutta tehtävä on rakennettu sikäli poikkeavasti, että varsinaisen lopputuloksen näkee varsin nopeasti tehtävänantoa miettimällä. Hankalaksi kostautuukin ratkaisun miettiminen paperille yleisellä tasolla. Mallivastauksen idea on aika vaikeaselkoinen, logiikan saa esille ehkä helpoiten avaamalla pitoisuuden vaiheittain lukuina ja yrittämällä sitoa saadut arvot jotenkin tehtävän lopputuloksesta riippuvaisiksi.

Ensi kerralla siirrytään sitten mammuttimaisen luvun 8 pariin, differentiaalilaskennan maailmaan. Siellä vierähtääkin sitten toista viikkoa..

Matematiikka 29.3

Tauon jälkeen matematiikassa aloiteltiin raja-arvojen käsittelyä. Tiiviin teoriakirjan sisältöön on tältä osin saatu varsin sopivasti mahdutettua yleisimmät niksit raja-arvojen pyörittelyihin. Kirjasta löytyvä kaava 7.6 koskien sin x / x raja-arvoa 1, kun x -> 0, on erityisen hyödyllinen trigonometristen funktioiden yhteydessä. Tehtäviä tehdessä huomattiin myös, että joskus on käytettävä useampaa kuin yhtä ratkaisutekniikkaa tulokseen päästäkseen.

Mikäli raja-arvotehtävä ei meinaa aueta, voi kokeilla ihan peruslaskimellakin pientä estimointia. Mikäli tehtävässä x lähestyy ääretöntä, voi kokeilla sijoittaa lausekkeeseen jonkin riittävän suuren arvon ja katsoa, millaisen tuloksen saa. Vastaavalla idealla tietenkin mahdollisimman minimaalisia arvoja, jos x lähestyy nollaa. Kuulostaa melkoiselta niksipirkalta epätoivon vimmassa, mutta todellisuudessa tällä voi helposti saada sen pienen puuttuvan ajatuksen, jolla tehtävän saakin pyöriteltyä sopivaan muotoon. Riippuen lausekkeen muodosta, sopivan estimoinnin saa tehtyä jo varsin säädyllisilläkin luvuilla.

Raja-arvojen parissa jatketaan vielä ensi kerrallakin, tarkoituksena saada kutakuinkin kaikki osion tehtävät pakettiin ennen siirtymistä differentiaalilaskennan pariin, joka nojaa vahvasti myös raja-arvoihin.

Matematiikka 1.3 & 5.3 & 8.3

1.3 Matematiikassa jatkettiin luvun 4 Analyyttinen geometria tehtäviä. Näitä on myös jakokansiossa kalvoilla nähtävillä. Kaikkinensa luvun tehtävät ovat varsin hyvää aivojumppaa, koska niissä lähdetään liikkeelle pääsääntöisesti vasta oivalluksen jälkeen.

5.3 Siirryttiin funktioihin luvussa 5. Jakokansiossa löytyy tähänkin kalvot, joilla on muutamia omia ratkaisujani luvun tehtäviin. Laitan luvun muihinkin tehtäviin omia ratkaisujani jakokansioon katseltavaksi tauon aikana. Luvun tehtävät ovat monen tasoisia, joskin ehkä ne kaikkein vaikeimmat tehtävät puuttuvat.

8.3 Käsiteltiin luvun 6 funktiotyyppejä eli logaritmeja sekä potensseja. Tässä luvussa isossa osassa ovat erilaiset laskusäännöt ja ratkaisukikat, jotka jäävät mieliin lähinnä kuuluisien toistojen kautta. Olen jo laittanut jakokansioon omat ratkaisuni suurimpaan osaan luvun tehtävistä antamaan ehkä vaihtoehtoisia ratkaisutapoja mallikirjaan verrattuna tai edes selventämään niiden puuttuvia välivaiheita.

Kaikkinensa aina lukuun 9 saakka käsittelemme funktioita, mutta tauon jälkeen vastaantulevat luvut ovat paljon kattavampia ja vaativampia, joten luvut 5-6 olisi hyvä saada hiottua itsenäisesti kuntoon tauon aikana. Kaikkiin tehtäviin saa tietenkin palata tunneillakin, mikäli mitä tahansa kysyttävää niistä on jäänyt. Mutta tauon jälkeen 29.3 siirrymme kuitenkin luvun 7 raja-arvojen maailmaan.

Fysiikka 5.2.

Kuten olette ehkä huomanneet, olemme käyneet materiaalia läpi hyvin nopeasti. Perusteluna tälle on se, että usein lukiofysiikan loppupään kurssit koetaan hankalemmiksi, eikä niitä osata yhtä hyvin. Nyt on tullut aika hidastaa tahtia

Aloitimme tällä viikolla sähköfysiikan käsittelyn. Kävimme maanantaina läpi ihan perusjuttuja, eli joitain sähkövarauksen ominaisuuksia, sekä millainen on sähkökenttä. 

Näihin liittyvät tehtävät olivat kirjasta tehtävät 5.1-5.4

Fysiikka 26.2.

Palasimme tauolta suoraan työn touhuun. Tutkailimme ideaalikaasua ja tarkastelimme erinäisiä termodynaamisia prosesseja. Ideaalikaasu on erinomainen ja äärimmäisen yksinkertainen malli kaasusta, jota voidaan käyttää hyvin useissa tilanteissa. Mallia voi konkretisoida ajattelemalla atomeja pieninä poukkoilevina palloina. Feynman antoi tästä hyvän kuvauksen kuuluisan luentosarjansa 'Feynman lectures of physics' avausluennolla. Kyseisen luennon löydätte täältä.

Tässä luennolla käydyt tehtävät:

3.11, 3.13, 3.14, 3.16, 3.17, 3.19, 3.21

Torstaina käsittelemme termodynaamisia prosesseja. Voitte tutustua aiheeseen lukemalla kirjan kappaleen 3.5

Matematiikka 26.2

Hiihtoloman jäljiltä siirryttiin analyyttisen geometrian maailmaan. Kävin tunnilla yhteisesti läpi kirjan tehtävät 4.30-4.32 ja 4.17. Näissä käytettiin kutakuinkin kaikkia teoriaosan valitsemia teemoja; suoran ja erityisesti tangentin yhtälön muodostaminen, kulmakertoimen ja tangentin yhteys, neliöön täydennys, keskipisteiden löytäminen jne.

Tunnin kalvot ovat nähtävillä jakokansiossa. Kunkin tehtävän ratkaisut on hyvä käydä läpi; vastaavia tekniikoita tarvitaan suurimmassa osassa luvun tehtäviä. Erityisen kiintoisa on 4.30b, jossa vastaaminen on luonnollisinta kuvan avulla hahmotellen ja perustellen. Se voi tuntua kokeessa epämääräiseltä aluksi, mutta esitetyn kaltaisella perustelulla ja pienen havainnollistavan kuvan avulla vastaus on kuitenkin täsmällinen, vaikkei se sisälläkään aina erityisemmin laskennallista osuutta.

Tehtävä 4.17 puolestaan on esimerkki erittäin luotaantyöntävästä tehtävänannosta. Liikutaan selvästi analyyttisen geometrian alueella, mutta soppaan sekoitetaan myös todennäköisyyslaskenta. Tässä on puolestaan tehtävä, jossa kuvan piirtäminen voi jopa sekoittaa ajatuksia ihan yksilöstä riippuen (kuva kalvoilla). Lisäksi tässä pitää hahmottaa, että on etsittävä toisen asteen yhtälön rajaus, jolloin sillä ei olekaan yhtään ratkaisua; eli milloin diskriminantti on negatiivinen. Tämänkin jälkeen on vielä hankalaa työtä edessä muodostaa välit oikein, ja sen jälkeen vielä mallivastauksen tavoin hakea ne kulman arvot, joista tangentti antaa saadut arvot.

Kaikkinensa luku 4 on sekoitus usean eri osa-alueen teorioista, jolloin kysytyn tilanteen hahmottaminen oikein nousee erityisen suureen rooliin (koskapa ei toisaalta, voisi kysyä..). Harva tehtävistä aukeaa suoraviivaisesti laskemaan lähtemällä, vaan useimmiten vaaditaan ensin pieni ahaa-hetki ennenkuin keksii (mahdollisen) ratkaisun logiikan.

Fysiikka 8.2.

Menimme tänään aiheeseen, josta termodynamiikka on saanut nimensä ensimmäisen osan, eli lämpöön. Aluksi tutkimme lämpölaajenemista. Kappaleet koostuvat atomeista ja lämpötila kuvaa näiden atomien liikettä (kiinteiden aineiden tapauksessa tietyn pisteen ympärillä). Kun lämpötila nousee, hiukkasten nopeus kasvaa ja hila laajenee.

Tämän jälkeen tarkastelimme lämpöä, eli hiukkasten lämpöliikkeen liike-energian summaa. Lämpö on siis liike-energiaa ja täten sen yksikkö oli Joule. Usein tehtävissä puhutaan lämmön siirtymisestä joka tarkoittaa kuinka paljon lämpöenergiaa siirtyy kuumemmasta kappaleesta kylmempään (tai jos systeemiin tehdään työtä, niin paljonko siirtyy kylmemmästä kuumempaan).

Kolmas aihe oli lämpökapasiteetit ja faasinmuutoslämmöt/latenttilämmöt. Kun kappaleeseen tuodaan termistä energiaa, vaikutukset voivat vaihdella suuresti. Lisääntynyt terminen energia voi ilmetä joko lämpötilan nousuna tai olomuodon, eli faasin, muutoksena.

Tunnilla annetut tehtävät:
Lämpölaajeneminen
    3.7, 3.8, 3.10

Lämpömäärä ja lämpökapasiteetti
    3.22, 3.26, 3.27, 3.28, 3.30, 3.35, 3.40

Ensi kerralla käsittelemme ideaalikaasuja. Hyvää taukoa kaikille ja tsemppiä kirjoituksiin niihin osallistuville!

Matematiikka 8.2

Tänään jatkettiin vektoreiden maailmassa. Aihe on perinteisesti hankala, joten tarkoituksena oli saada lisää vahvistusta yleisimpiin ratkaisukeinoihin vektoritehtävissä. Lähes joka tehtävässä on kyse siitä, että pyritään löytämään tapa ilmoittaa tuntemattomat vektorit tunnettujen - tai ainakin "tunnettujen" - vektorien avulla.

Edessä on parin viikon tauko tapaamisista. Sen aikana jokaisen tulisi jatkaa vektoritehtäviä, jotta saa osiosta hyvän tuntuman. Lisäksi on suositeltavaa tutustua omatoimisesti osioon 4 Analyyttinen geometria. Teorian kertauksen ohella kaikki H-tason tehtävät ovat vapaata riistaa, ja mikäli ne sujuvat helposti, niin voi jo omaa tahtia alkaa tekemään muitakin osion tehtäviä. Käydään tuo osio läpi tauon jälkeisellä kerralla yhdessäkin, mutta tarkoitus on, ettei siihen käytetä yhtä kertaa enempää aikaa.

Lisäilen tässä taukoviikon aikana jakokansiooni omia ratkaisujani luvun 3 Trigonometria ja vektorit tehtävistä. Pyrin valitsemaan sellaisia, joissa oma ratkaisutapani poikkeaa ratkaisukirjan esittämästä menetelmästä tai sitten esitän laajennetun ratkaisuversion, jossa on malliratkaisun idea mutta perusteluineen. Linkki tuohon kansioon löytyy aiemmasta blogiviestistä.

Fysiikka 5.2.

Tänään käsittelimme painetta. Paine kuvasi voiman vaikutusta jollekin pinta-alalle, eli kuinka samalla voimalla voi olla erilaisia vaikutuksia (esim vasara ja naula). Tämän lisäksi pohdimme, kuinka paine liittyy nesteisiin. Tehtävissä tämä usein tarkoittaa hydrostaattista painetta. Tästä olikin luontevaa siirtyä nosteeseen. Noste perustuu paine-eroon kappaleiden ylä- ja alapinnoilla (painottomassa tilassa esim ei ole nostetta). Tehtävien kannalta nostetta käsitellään Arkhimedeen lain kautta, jossa nosteen suuruus on yhtäsuuri kuin kappaleen syrjäyttämän nesteen paino.

Tunnilla käsiteltiin seuraavia tehtäviä:
3.1-3.6

Haluaisin vain muistuttaa, että luentokalvot löytyvät drivestä.

Mainittakoon vielä, että lisäsin driveen yhden nestedynamiikkaan liittyvän aineistotehtävän halukkaille!

Matematiikka 5.2

Tänään katseltiin vektoreita. Vektorit ovat kovin monen mielestä vaikea osa-alue, mutta ne esiintyvät usein pääsykoetehtävissä. Tähän osioon on siis syytä paneutua kotona tehtäviä tekemällä; vain toistojen kautta aluksi hankalilta tuntuvat pyörittelyt alkavat selkiintyä ja kaavat alkavat tulla tutuiksi. Tunnilla teimmekin huomion, että kokeiden kaavakokoelmissa on vektoreihin liittyen erittäin niukasti kaavoja tarjolla; näitä on siis todellakin pakko hinkata kyllästymiseen asti.

Tunnin aluksi esittelin melkoisen pikaiseen tahtiin tehtävät 3.56, 3.50 ja 3.37. Nämä olivat yhdessä 3.45 tehtävän ohella ns. haastavimpia tehtäviä lähivuosien pääsykokeissa vektoreihin liittyen, ja niissä käytetään projektiota lukuunottamatta kaikkia muita usein toistuvia vektorikaavoja. Näiden tehtävien ratkonnassa tehtävät pyörittelyt on hyvä tehdä itsekin kertaalleen.

Kaikki vektorialueen tehtävät poislukien *-merkityt ovat nyt siis erittäin suositeltavaa ajanvietettä kohta alkavalle 2 viikon kurssitauolle. Ensi kerralla näihin voidaan palata, jos yleisiä kysymyksiä riittää. Muutoin jatkamme etenemistä lukuun 4 Analyyttinen geometria.

Päivitän kurssitauolla jakokansioon lisämateriaalia etenkin luvusta 3; ainakin omia vaihtoehtoisia ratkaisujani alueen tehtäviin tulee näkyville, ja ehkä hieman lisäselityksiä teoriaosan kaavoista.

Fysiikka ja matematiikka 1.2.

Fysiikan tunnilla tutustuimme mekaaniseen energiaan ja havaitsimme kuinka se koostuu liike-energiasta ja potentiaalienergiasta. Toinen päivän tärkeä aihe oli työn tekeminen ja kuinka työ muuttaa energiaa muodosta toiseen tai siirtää sitä systeemin ja ympäristön välillä.

Tunnilla annetut tehtävät:

2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.9, 2.14, 2.16, 2.17, 2.21

Matematiikan tunti oli hyvin laskupainotteinen. Aluksi ihmettelimme hiukan yksikköympyrää, jota tuijottamalla johdimme osan trigonometrisistä symmetrioista kuten trigonometrian perusyhtälön. Tämän jälkeen teimme yhden esimerkkitehtävän jonka jälkeen ryhdyimme ratkomaan tehtäviä.

Tunnilla annetut tehtävät:

3.2, 3.4, 3.6, 3.35, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.51, 3.52, 3.53, 3.55

Fysiikka 29.1.

Kävimme maanantaina läpi painovoimaa ja mietimme pyöriviä systeemejä. Tunnin tärkein juttu mielestäni oli momenttiyhtälö, eli Newtonin toisen lain vastike pyörimisen suhteen. Kun käsittelette statiikan tehtäviä, tulee ymmärtää, että momenttien summa on nolla jokaisen pisteen suhteen, eli voitte valita akselin sen mukaan, mikä on helpoin laskea!

Tunnilla tehtiin tehtäviä:
Gravitaatio: 1.25, 1.26
Mekaniikka: 1.45, 1.46, 1.48, 1.49, 1.55, 1.56

Matematiikka 29.1

Tunnilla jatkettiin geometrian parissa. Käytiin nopeasti pari esimerkkiratkaisua läpi yhdessä, ja sen jälkeen laskettiin kirjan tehtäviä.

Tunnin kalvot ovat nyt jakokansiossa nähtävillä. Kalvoilla on esimerkkiratkaisu mm. tehtävään 2.31 ja myös tunnilla monille harmaita hiuksia aiheuttaneeseen tehtävään 2.15. Omakin ratkaisuni oli tunnilla vähän oiottu, joten lisäsin nyt kalvoille tähän tehtävään perusteellisemman ratkaisun, joka toivon mukaan perustelee ainakin ratkaisukirjan mallivastauksen käyttämät oikopolut kaikille ymmärrettävästi.

Kotiin jäi tehtäväksi viimeistellä geometrian tehtävät, ja tutustua etukäteen luvun 3 teoriaosuuteen. Lisäksi lämmittelynä kolmosluvun tehtävien alusta (H)-tason tehtäviä.

Fysiikka 25.1.

Tänään käsiteltiin heittoliikettä ja aloiteltiin ympyräliikkeeseen tutustumista. Pääsykokeiden kannalta erityisesti heittoliike kannattaa opiskella kunnolla, ainakin mikäli vanhoja pääsykokeita on uskominen. Kyseessä on hyvin usein toistunut tehtävätyyppi.

Mainittakoon vielä, että mikäli tuntuu siltä, että jotkin asiat jäivät vielä luennon jälkeen epäselviksi, Khan Academy tarjoaa erinomaisia nettiluentoja kurssin asioista. Suosittelen näitä kaikille :)

Olisi hyvä, että ensi tunnille olisitte tehneet seuraavat tehtävät:

- Heittoliike:
  1.12, 1.16, 1.17, 1.18
- Ympyräliike:
  1.19, 1.20, 1.22, 1.24

Matematiikka 25.1

Torstaina käytiin hyvin lyhyesti läpi viime kerralla kotiin jäänyt tehtävä 1.59b ja lisäksi yksi prosenttitehtävä 1.55. Prosenttilaskuja kannattaa siis katsella ratkaisukirjasta, jos niiden tekeminen on ollut haasteellista. Päivän kalvoillani oli lyhyeksi pelkistetty kooste lähes jokaisen prosenttitehtävän ratkaisemisen periaatteesta.

Päivän varsinaisena aiheena tutustuttiin teoriakirjan luvun 2 tasogeometriaan. Kalvoilla on esitettynä tehtävä 2.5 ja nyt myös päivitettynä yksityiskohtaisempi esitys haastavan tehtävän 2.4 ratkaisusta. Lisäsin ratkaisuun selityksiä ajatuksieni tueksi ja myöskin muistutukseksi vastaustekniikasta. Tunnilla en perustellut, miksi löydetty pituuden nollakohta on maksimi; hyvässä vastauksessa tämäkin olisi nopeasti todettu sijoituksella, tästä malli nyt kalvoilla myös.

Kalvojen lopussa on lista tehtävistä, joita aloitimme tekemään tunnilla. Pyrkikää saamaan koko lista tehdyksi ensisijaisesti siten, että lähdette liikkeelle niistä tehtävistä, jotka aukeavat heti. Pyritään kotityöskentelyssäkin välttämään siis tilannetta, jossa jäädään heti jumiin yhteen tehtävään, koska koesuorituksessakin on pyrittävä siihen. Mikäli jokin tehtävä ei aukea toisellakaan kerralla, niin katsokaa olisiko ratkaisukirjassa aluksi jokin vihje, mistä voisitte kenties aloittaa. Jos joudutte turvautumaan kokonaan mallivastaukseen, niin kirjoittakaa se kuitenkin puhtaaksi myös itse sellaisin lausein ja välivaihein, jotka itse ymmärrätte hyvin. Tällöin kielellistätte ratkaisun itsellenne ymmärrettävään muotoon, ja tekniikka tulee todennäköisemmin opittua.

Matematiikan kansio kurssilaisille

Laitan luennoilla esittämäni materiaalit kurssilaisten saataville myöhempää käyttöä varten jaettuun kansioon. Kalvoilla ei välttämättä ole liiemmin teoriaa laajentavaa infoa, mutta ainakin omia esimerkkivastauksiani joihinkin tehtäviin teorian tueksi. Näitä voi myöhemmin esimerkiksi vertailla ratkaisukirjan mallivastauksiin, ja yrittää löytää niistä molemmista itselleen parhaiten toimivia ratkaisutekniikoita.

Linkki kyseiseen kansioon tässä: linkki

Matematiikka 22.1

Tänään käytiin tiiviisti läpi lukua 1. Kalvoilla esitin kustakin yhtälöihin liittyvästä osa-alueesta tiivistyksen ja joitakin aiheisiin liittyviä tehtäviä ratkaisuineen. Ratkaisut näistä ovat kalvoilla hyvin tiiviissä muodossa, tunnilla yritettiin niitä hieman laajemmin käsitellä.

Kalvot kannattaa teoria-osan ohella vilkaista läpi. Yritin kerätä niihin sellaisia huomioita, jotka mielestäni ovat oleellisia, kun ajatellaan näistä aiheista mahdollisesti tulevia koetehtäviä.

Lopputunti tehtiin tehtäviä. Kalvoilla on 6 tehtävän paketti, josta käytiin läpi 4 ensimmäistä. Tämän tarkoitus oli hyvin karkeasti jäljitellä koetilannetta; 6 tehtävää lyhyessä ajassa, joten on tärkeää löytää sieltä sellaiset, jotka saa tehtyä varmasti. Mukavasti saatiin yhteen tehtävään tekijäkin taululle. Tätä toivon lisää, koska oman ratkaisun esittäminen muille voi auttaa muita saamaan asiasta kiinni paremmin kuin minun puheiden perusteella. Samalla itsekin tulee käyneeksi ratkaisunsa läpi useamman kerran; tämä syventää omaa osaamista ja lisää luottamusta omiin kykyihin.

Kotiin jäi tuosta tehtäväpaketista tehtävät 1.59 ( vain b-kohta, a-kohta löytyy kalvoilta ) ja 1.61. Lisäksi omavalintaiset vähintään 2 prosenttilaskutehtävää sivujen 12-17 välisestä valikoimasta.

Ensi kerralla aloitetaan puhumalla vielä prosenteista, ja sitten siirrytään lukuun 2 ja geometrian pariin. Lisäilen matematiikankin osalta tuntikalvoja näkyville huomenissa, jotta niihin voi palata myöhemminkin ja poissaolleet voivat katsella sieltä, missä on menty.

Fysiikka 18.1.

Tervetuloa kurssille vielä kerran minunkin puolesta! Ensimmäisellä oppitunnilla kävimme läpi vähän yleisempiä asioita, kuten fysiikan tehtävän vastaustekniikkaa ja huomasimme kuinka matematiikan tunneilla opitut asiat liittyvät fysiikan opintoihin (esim integrointi ja derivointi). Mielestäni kuitenkin tärkein asia, mitä käsittelimme tunnilla oli dimensioanalyysi, eli ajatus siitä kuinka fysiikassa kaikilla asioilla on jokin yksikkö. Tätä tietoa pystytään esimerkiksi käyttämään yhtälöiden järkeilyssä ja laskujen tarkastuksessa.

On tärkeää, että kurssin aikana jokaiselle muodostuu hyvä laskurutiini ja se muodostuu, no laskemalla. Ennen seuraavaa tuntia teidän tulisi täten tehdä ennakkotehtävistä mekaniikan ja lämpöopin tehtävät, sekä kirjasta 1.1. - 1.10. Mikäli jokin tehtävä jää mietityttämään/tuntuu erityisen vaikealta, voimme käydä niitä yhdessä läpi maanantaina tunnin alussa.

Sen pidemmittä puheitta hyvät viikonloput kaikille ja muistakaa, että työ voittaa lahjakkuuden joka kerta!

P.S. Linkki luentokalvoihin

Matematiikka 18.1.

Matematiikan ensimmäisellä kokoontumiskerralla tutustuttiin hieman materiaaleihin ja puhuttiin yleistä kurssista. Sen jälkeen käytiin pikaisessa tahdissa läpi esitietotehtäviä, jotka olivat tuntuneet haastavilta. Näistä suurin osa kurssimateriaalista; näiden tehtävien ratkaisuja saa rauhassa tutkia, mikäli niitä ei vielä ole saanut ratkottua. Muutoin ratkaisujen kirjaa tulisi välttää apuvälineenä; käyttäkää sitä lähinnä jo ratkaisemienne tehtävien tarkistamiseen. Tällöin ratkaisuista voi saada ideoita myöhempiin tehtäviin eikä tule haettua vain oikopolkua ratkaisuun.

Kurssilla pyritään siis ratkomaan kaikki tehtävät samoin periaattein kuin varsinaisessa pääsykokeessakin; käytetään kynää ja paperia sekä vain sellaista laskinta, joka on sallittu myös pääsykokeessa. Lista näistä löytyy mm. dia.fi -sivustolta, ja se varmasti pyörii meillä esillä tunneillakin. Varmistakaa siis, että teiltä löytyy hyväksytty laskin. Lisäksi MAOL -taulukkokirja kannattaa tämän kurssin puitteissa unohtaa; vain materiaalista löytyvää kaavakokoelmaa tulisi käyttää aktiivisesti, jotta sen sisältöön tottuu.

Kotitehtäväksi teoriakirjan sivulta 10 lukuun 1 liittyviä tehtäviä 5 omavalintaista.

Pitkäkurssin johdantokalvot