maanantai 23. huhtikuuta 2018

Matematiikka 23.4.

Integroinnin toinen osuus. Tunnilla puhuttiin hieman esimerkkitehtävien myötä itseisarvointegroinneista ja trigonometrisista funktioista. Nämä ovat molemmat potentiaalisia tärppejä integrointitehtävien suhteen; trigonometriset funktiot esiintyvät kokeessa kokolailla varmasti ainakin yhdessä tehtävässä kuten myös itseisarvotkin. Näiden tehtävien ratkonta vaatii usein keskittymistä etenkin alkuvaiheessa, jotta rajaukset saa tehtyä oikein.

Tehtävien seasta löytyi erilaisia "helmiä". Esimerkkeinä vaikkapa tehtävä 9.54, joka 6. tehtävänä on erittäin vaatimaton vaikeustasoltaan moniin muihin verrattuna, ja toisaalta tehtävä 9.45, joka 1. tehtävänä osoittautuukin kohtalaiseksi pähkinäksi. On siis syytä taas kerran muistaa, että kaikki tehtävät on luettava ajatuksella, sillä numero ei suoraan kerro tehtävän vaikeustasoa.

Seuraavalla kerralla siirrytään todennäköisyyksien maailmaan. Integrointitehtävien ratkaisuja on luvassa lisää jakokansioon, kunhan niitä saan pakerrettua digimuotoon..

torstai 19. huhtikuuta 2018

Matematiikka 19.4.

Tänään aloiteltiin integrointiurakkaa. Aihe on varsin kaksijakoinen; monelle se menee sujuvasti, jos derivointitehtävät ovat hyvin hallussa ja osalle integrointi on tuskien taivallusta. Vaikka suhde derivointiinkin onkin läheinen ja ilmiselvä, niin ajattelun kääntäminen toiseen suuntaan ei aina ole niin helppoa.

Teoriaosan perinteisten integrointisääntöjen osaaminen on oleellista, sillä usein tehtävissä vaaditaan ensin vaativampia keinoja, jotta päästään siihen mekaaniseen loppuintegrointiin. Tehtävien seassa on kyllä tuskaisiakin integrointeja, kuten esimerkiksi tehtävässä 9.7. Tässä on muistettava hieman trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja, jotta homman saa avattua; tuolloinkin tekemistä on moneen välivaiheeseen.

Monissa tehtävissä on onnistuttava muokkaamaan integroitava funktio ensin sellaiseen muotoon, johon voidaan soveltaa jotakin tunnettua sääntöä. Tällöin yleensä menettelynä on osoittajan muokkaaminen sellaiseksi, että sinne saadaan muodostettua vastaavia tekijöitä kuin nimittäjästä löytyy. Mikäli nimittäjän polynomi saadaan esitettyä 1. asteen polynomien tulona, niin pilkkomisen seurauksena voi hyvinkin olla luonnollisen logaritmin derivaattoja.

Yleisimpiä tehtäviä ovat erilaiset pinta-alan tai tilavuuden selvittämiset. Tällöin pääsääntöisesti lähdetään liikkeelle etsimällä tehtävässä esiintyvien käyrien leikkauspisteitä. Etenkin pyörähdyskappaleiden kohdalla on oltava tarkkana, miten annettua funktiota käsittelee. Yleisimmässä muodossa pyörähdetään x-akselin eli käyrän y=0 ympäri; tuolloin varsinainen käyräkin on ratkaistava nimenomaan y:n suhteen. Vastaavasti, jos pyörähdetään y-akselin tai vaikka x=2 ympäri, niin varsinainen käyrä on ratkaistava x:n suhteen.

Oleellista on myös usein selvittää perustellen, miksi esimerkiksi pinta-alatehtävissä toinen käyristä on toisen yläpuolella annetulla välillä. Usein tämä on selkeästi todettavissa, joskus voi ottaa osaväleiltä sopivia pisteitä, joissa laskee käyrien arvot ja toteaa toisen olevan osavälillä aina suurempi/pienempi. On kuitenkin intuitiivisesti selkeää, että osavälillä järjestys on aina sama, koska muutoin osavälillä olisikin jokin toinenkin nollakohta.

tiistai 17. huhtikuuta 2018

Matematiikka 16.4.

Maanantaina katseltiin Differentiaalilaskentaa vielä kerran, tällä kertaa tuoreimpia koetehtäviä.

Aluksi esittelin kolme erilaista 6. tehtävää menneiltä vuosilta, joilla oli ajallisesti eroa 20v: 8.50 , 8.59 ja 8.66.

Näistä 8.59 oli todella suoraviivainen tehtävä, joka ratkeaa suoraan liikkeelle lähtemällä. Se ei siis toisin sanoen täytä sitä mielikuvaa, mikä on odotusarvoisesti vaikeimmasta tehtävästä.

8.66 tehtävässä a)-kohta on hyvin selkeä. Samoin b)-kohdan ajattelu on hyvin suoraviivaista, mutta hieman joutuu pohtimaan saman tangentin olemassaoloa kuin a)-kohdassa. Syntyvä kolmen yhtälön ryhmä tuottaa hankalia murtolukuja; näiden ratkaiseminen ei ole aina yksinkertaista ilman apuvälineitä.

Tehtävä 8.50 on kuitenkin näistä kolmesta selvästi vaikein. Tässä on tehtävä ensin hankalahkoa päättelytyötä, jotta saa muodostettua lauseen pisteen B kulkukäyrän derivaatalle. Sen jälkeen on onnistuttava derivoimaan hankala funktio f(x); tässä pyörittelyssä on kovin helppo tehdä virheitä. Tämän funktion derivointi onkin erinomaista harjoittelua.

Jakokansiossa on hieman lisää ratkaisuja loppupään tehtäviin, pitkä linkki kansioon vielä tässä:

https://drive.google.com/drive/folders/1NsVnso1rkdXs0K_6HEguWkvNEOUJojBC?usp=sharing

Ensi kerralla sitten integrointia.

perjantai 13. huhtikuuta 2018

Matematiikka 12.4.

Torstaina jatkettiin differentiaalilaskennan tehtäviä eteenpäin. Tunnin aluksi näytin kalvoilta 4 erilaista tehtävää läpi, ja lopputunti jatkettiin omia valintoja eteenpäin. Kalvot löytyvät jakokansiosta, ja siellä on myös muutamaan muuhunkin tehtävään jonkinlainen malliratkaisu nähtävillä.


Luvussa on tosiaan tehtäviä 66, mutta kuten tunnilla huomattiin, niin seassa on myös tehtäviä - kuten 8.26 - joissa ei tarvita differentiaalilaskentaa lainkaan. Tämä tehtävä on oikein hyvä ongelmanratkaisutehtävä, mutta ratkeaa ajatuksen löydyttyä ihan perinteisillä yhtälönratkaisun menetelmillä.


Maanantaina jatketaan vielä kerran tätä lukua käsitellen, tuolloin keskitytään osion loppupään tehtäviin eli kaikkein tuoreimpiin pääsykoetehtäviin.

tiistai 10. huhtikuuta 2018

Matematiikka 9.4.

Maanantaina aloitettiin tehtävien osalta melko mammuttimainen luku 8 Differentiaalilaskenta.

Sanallisten tehtävien tyyli on nykyään yhä yleisimmin se, että tekstistä on pystyttävä ensin itse rakentamaan funktio(t), jota lähdetään tutkimaan derivaatan avulla. Teoriaosuudessa kerrataankin ensin yleisimmin tarvittavat derivointisäännöt; näistä kutakuinkin kaikki tulisi osata "mennentullen", koska yleisesti ottaen itse derivointi on näissä tehtävissä vain yksi mekaaninen osa tehtävän ratkaisua. Suurin vaikeus on yleensä tutkittavan funktion muodostaminen. On myös syytä olla tarkkana erityisesti tehtävissä, joissa on annettu funktio jo valmiiksi. Kysytäänkö tehtävänannossa sellaista, joka selviää suoraan tätä annettua funktiota derivoimalla vai liittyykö ongelma todellisuudessa annetun funktion derivaattafunktioon, jota on lähdettävä tutkimaan toisen derivaatan kautta?

Teoriakirjan esimerkki 8.1 on hyvä esimerkki tehtävästä, jossa on hieman osattava soveltaa derivoinnin ketjusääntöä. Tästä on myös suoraan vastaava tehtävä 8.16, joka on hyvä tehdä idean hahmottaakseen. Ennen seuraavaa kertaa 2 ensimmäistä tehtäväsivua ovat "vapaata riistaa". Lukua käydään 3 kertaa, joten kepeät parikymmentä tehtävää per kerta on tehtäviä keskimäärin jaossa! :) Kaikkia ei tietenkään ehditä käymään läpi tai tehdä muutenkaan tunneilla, mutta laittelen joihinkin tehtäviin omia ratkaisujani taas jakokansioon sellaisista tehtävistä, joihin on vastauskirjan tekotapaan nähden toisenlainenkin vaihtoehto tarjolla. Muistaa vastauskirjaa katsellessa pistää merkkejä kohtiin, joissa on oiottu välivaiheita siten, ettette meinaa nähdä mitä on tehty. Näistä on hyvä kysyä tunneilla, niin yritetään yhdessä löytää tekijän logiikka lisävälivaiheilla.


torstai 5. huhtikuuta 2018

Matematiikka 5.4.

Tänään jatkettiin raja-arvojen pyörittelyä. Tuntikalvoilla jakokansiossa on taas näkyvillä tunnilla esitellyt tehtävät.

Tehtävässä 7.12 on oleellista huomata, ettei vasemmanpuoleista raja-arvoa ole määritelty, koska neliöjuuren sisällä oleva lauseke on tuolloin negatiivinen. Oikealla puolelle on puolestaan huomattava, että nimittäjä saadaan jaettua tekijöihin, koska x=3 on sen nollakohta. Osoittajastakin saadaan yksi x otettua ulos, ja näin on saatu "eristettyä" kaksi termiä, jotka lähestyvät äärellisiä arvoja, kun x -> 3.

Tehtävässä 7.18 päästään liittoluvulla laventamisella varsin sekaviin lausekkeisiin.  Koska x lähestyy ääretöntä, niin yleensä parasta on pyrkiä ottamaan yhteinen tekijä, joka saadaan supistettua pois. Nimittäjästä nähdään, että voidaan pyrkiä ottamaan vain x ulos, ja se pitää tehdä neliöjuurilausekkeissa on x^2 avulla juuren sisäpuolella. Tämän jälkeen ongelmallisinta on miettiä osoittajan pitkää lauseketta. Ryhmittelemällä lauseke saadaan kolmeen osaan, ja voidaan päätellä tie maaliin.

Luvun ehkä kiintoisin päättelytehtävä on 7.21. Tässä ei paljoa raja-arvolla tarvitse leikkiä, mutta tehtävä on rakennettu sikäli poikkeavasti, että varsinaisen lopputuloksen näkee varsin nopeasti tehtävänantoa miettimällä. Hankalaksi kostautuukin ratkaisun miettiminen paperille yleisellä tasolla. Mallivastauksen idea on aika vaikeaselkoinen, logiikan saa esille ehkä helpoiten avaamalla pitoisuuden vaiheittain lukuina ja yrittämällä sitoa saadut arvot jotenkin tehtävän lopputuloksesta riippuvaisiksi.

Ensi kerralla siirrytään sitten mammuttimaisen luvun 8 pariin, differentiaalilaskennan maailmaan. Siellä vierähtääkin sitten toista viikkoa..

torstai 29. maaliskuuta 2018

Matematiikka 29.3

Tauon jälkeen matematiikassa aloiteltiin raja-arvojen käsittelyä. Tiiviin teoriakirjan sisältöön on tältä osin saatu varsin sopivasti mahdutettua yleisimmät niksit raja-arvojen pyörittelyihin. Kirjasta löytyvä kaava 7.6 koskien sin x / x raja-arvoa 1, kun x -> 0, on erityisen hyödyllinen trigonometristen funktioiden yhteydessä. Tehtäviä tehdessä huomattiin myös, että joskus on käytettävä useampaa kuin yhtä ratkaisutekniikkaa tulokseen päästäkseen.

Mikäli raja-arvotehtävä ei meinaa aueta, voi kokeilla ihan peruslaskimellakin pientä estimointia. Mikäli tehtävässä x lähestyy ääretöntä, voi kokeilla sijoittaa lausekkeeseen jonkin riittävän suuren arvon ja katsoa, millaisen tuloksen saa. Vastaavalla idealla tietenkin mahdollisimman minimaalisia arvoja, jos x lähestyy nollaa. Kuulostaa melkoiselta niksipirkalta epätoivon vimmassa, mutta todellisuudessa tällä voi helposti saada sen pienen puuttuvan ajatuksen, jolla tehtävän saakin pyöriteltyä sopivaan muotoon. Riippuen lausekkeen muodosta, sopivan estimoinnin saa tehtyä jo varsin säädyllisilläkin luvuilla.

Raja-arvojen parissa jatketaan vielä ensi kerrallakin, tarkoituksena saada kutakuinkin kaikki osion tehtävät pakettiin ennen siirtymistä differentiaalilaskennan pariin, joka nojaa vahvasti myös raja-arvoihin.

sunnuntai 11. maaliskuuta 2018

Matematiikka 1.3 & 5.3 & 8.3

1.3 Matematiikassa jatkettiin luvun 4 Analyyttinen geometria tehtäviä. Näitä on myös jakokansiossa kalvoilla nähtävillä. Kaikkinensa luvun tehtävät ovat varsin hyvää aivojumppaa, koska niissä lähdetään liikkeelle pääsääntöisesti vasta oivalluksen jälkeen.

5.3 Siirryttiin funktioihin luvussa 5. Jakokansiossa löytyy tähänkin kalvot, joilla on muutamia omia ratkaisujani luvun tehtäviin. Laitan luvun muihinkin tehtäviin omia ratkaisujani jakokansioon katseltavaksi tauon aikana. Luvun tehtävät ovat monen tasoisia, joskin ehkä ne kaikkein vaikeimmat tehtävät puuttuvat.

8.3 Käsiteltiin luvun 6 funktiotyyppejä eli logaritmeja sekä potensseja. Tässä luvussa isossa osassa ovat erilaiset laskusäännöt ja ratkaisukikat, jotka jäävät mieliin lähinnä kuuluisien toistojen kautta. Olen jo laittanut jakokansioon omat ratkaisuni suurimpaan osaan luvun tehtävistä antamaan ehkä vaihtoehtoisia ratkaisutapoja mallikirjaan verrattuna tai edes selventämään niiden puuttuvia välivaiheita.

Kaikkinensa aina lukuun 9 saakka käsittelemme funktioita, mutta tauon jälkeen vastaantulevat luvut ovat paljon kattavampia ja vaativampia, joten luvut 5-6 olisi hyvä saada hiottua itsenäisesti kuntoon tauon aikana. Kaikkiin tehtäviin saa tietenkin palata tunneillakin, mikäli mitä tahansa kysyttävää niistä on jäänyt. Mutta tauon jälkeen 29.3 siirrymme kuitenkin luvun 7 raja-arvojen maailmaan.

keskiviikko 7. maaliskuuta 2018

Fysiikka 5.2.

Kuten olette ehkä huomanneet, olemme käyneet materiaalia läpi hyvin nopeasti. Perusteluna tälle on se, että usein lukiofysiikan loppupään kurssit koetaan hankalemmiksi, eikä niitä osata yhtä hyvin. Nyt on tullut aika hidastaa tahtia

Aloitimme tällä viikolla sähköfysiikan käsittelyn. Kävimme maanantaina läpi ihan perusjuttuja, eli joitain sähkövarauksen ominaisuuksia, sekä millainen on sähkökenttä. 

Näihin liittyvät tehtävät olivat kirjasta tehtävät 5.1-5.4

tiistai 27. helmikuuta 2018

Fysiikka 26.2.

Palasimme tauolta suoraan työn touhuun. Tutkailimme ideaalikaasua ja tarkastelimme erinäisiä termodynaamisia prosesseja. Ideaalikaasu on erinomainen ja äärimmäisen yksinkertainen malli kaasusta, jota voidaan käyttää hyvin useissa tilanteissa. Mallia voi konkretisoida ajattelemalla atomeja pieninä poukkoilevina palloina. Feynman antoi tästä hyvän kuvauksen kuuluisan luentosarjansa 'Feynman lectures of physics' avausluennolla. Kyseisen luennon löydätte täältä.

Tässä luennolla käydyt tehtävät:
3.11, 3.13, 3.14, 3.16, 3.17, 3.19, 3.21

Torstaina käsittelemme termodynaamisia prosesseja. Voitte tutustua aiheeseen lukemalla kirjan kappaleen 3.5


Matematiikka 26.2

Hiihtoloman jäljiltä siirryttiin analyyttisen geometrian maailmaan. Kävin tunnilla yhteisesti läpi kirjan tehtävät 4.30-4.32 ja 4.17. Näissä käytettiin kutakuinkin kaikkia teoriaosan valitsemia teemoja; suoran ja erityisesti tangentin yhtälön muodostaminen, kulmakertoimen ja tangentin yhteys, neliöön täydennys, keskipisteiden löytäminen jne.

Tunnin kalvot ovat nähtävillä jakokansiossa. Kunkin tehtävän ratkaisut on hyvä käydä läpi; vastaavia tekniikoita tarvitaan suurimmassa osassa luvun tehtäviä. Erityisen kiintoisa on 4.30b, jossa vastaaminen on luonnollisinta kuvan avulla hahmotellen ja perustellen. Se voi tuntua kokeessa epämääräiseltä aluksi, mutta esitetyn kaltaisella perustelulla ja pienen havainnollistavan kuvan avulla vastaus on kuitenkin täsmällinen, vaikkei se sisälläkään aina erityisemmin laskennallista osuutta.

Tehtävä 4.17 puolestaan on esimerkki erittäin luotaantyöntävästä tehtävänannosta. Liikutaan selvästi analyyttisen geometrian alueella, mutta soppaan sekoitetaan myös todennäköisyyslaskenta. Tässä on puolestaan tehtävä, jossa kuvan piirtäminen voi jopa sekoittaa ajatuksia ihan yksilöstä riippuen (kuva kalvoilla). Lisäksi tässä pitää hahmottaa, että on etsittävä toisen asteen yhtälön rajaus, jolloin sillä ei olekaan yhtään ratkaisua; eli milloin diskriminantti on negatiivinen. Tämänkin jälkeen on vielä hankalaa työtä edessä muodostaa välit oikein, ja sen jälkeen vielä mallivastauksen tavoin hakea ne kulman arvot, joista tangentti antaa saadut arvot.

Kaikkinensa luku 4 on sekoitus usean eri osa-alueen teorioista, jolloin kysytyn tilanteen hahmottaminen oikein nousee erityisen suureen rooliin (koskapa ei toisaalta, voisi kysyä..). Harva tehtävistä aukeaa suoraviivaisesti laskemaan lähtemällä, vaan useimmiten vaaditaan ensin pieni ahaa-hetki ennenkuin keksii (mahdollisen) ratkaisun logiikan.

perjantai 16. helmikuuta 2018

Fysiikka 8.2.

Menimme tänään aiheeseen, josta termodynamiikka on saanut nimensä ensimmäisen osan, eli lämpöön. Aluksi tutkimme lämpölaajenemista. Kappaleet koostuvat atomeista ja lämpötila kuvaa näiden atomien liikettä (kiinteiden aineiden tapauksessa tietyn pisteen ympärillä). Kun lämpötila nousee, hiukkasten nopeus kasvaa ja hila laajenee.

Tämän jälkeen tarkastelimme lämpöä, eli hiukkasten lämpöliikkeen liike-energian summaa. Lämpö on siis liike-energiaa ja täten sen yksikkö oli Joule. Usein tehtävissä puhutaan lämmön siirtymisestä joka tarkoittaa kuinka paljon lämpöenergiaa siirtyy kuumemmasta kappaleesta kylmempään (tai jos systeemiin tehdään työtä, niin paljonko siirtyy kylmemmästä kuumempaan).

Kolmas aihe oli lämpökapasiteetit ja faasinmuutoslämmöt/latenttilämmöt. Kun kappaleeseen tuodaan termistä energiaa, vaikutukset voivat vaihdella suuresti. Lisääntynyt terminen energia voi ilmetä joko lämpötilan nousuna tai olomuodon, eli faasin, muutoksena.

Tunnilla annetut tehtävät:
Lämpölaajeneminen
    3.7, 3.8, 3.10

Lämpömäärä ja lämpökapasiteetti
    3.22, 3.26, 3.27, 3.28, 3.30, 3.35, 3.40

Ensi kerralla käsittelemme ideaalikaasuja. Hyvää taukoa kaikille ja tsemppiä kirjoituksiin niihin osallistuville!


torstai 8. helmikuuta 2018

Matematiikka 8.2

Tänään jatkettiin vektoreiden maailmassa. Aihe on perinteisesti hankala, joten tarkoituksena oli saada lisää vahvistusta yleisimpiin ratkaisukeinoihin vektoritehtävissä. Lähes joka tehtävässä on kyse siitä, että pyritään löytämään tapa ilmoittaa tuntemattomat vektorit tunnettujen - tai ainakin "tunnettujen" - vektorien avulla.

Edessä on parin viikon tauko tapaamisista. Sen aikana jokaisen tulisi jatkaa vektoritehtäviä, jotta saa osiosta hyvän tuntuman. Lisäksi on suositeltavaa tutustua omatoimisesti osioon 4 Analyyttinen geometria. Teorian kertauksen ohella kaikki H-tason tehtävät ovat vapaata riistaa, ja mikäli ne sujuvat helposti, niin voi jo omaa tahtia alkaa tekemään muitakin osion tehtäviä. Käydään tuo osio läpi tauon jälkeisellä kerralla yhdessäkin, mutta tarkoitus on, ettei siihen käytetä yhtä kertaa enempää aikaa.

Lisäilen tässä taukoviikon aikana jakokansiooni omia ratkaisujani luvun 3 Trigonometria ja vektorit tehtävistä. Pyrin valitsemaan sellaisia, joissa oma ratkaisutapani poikkeaa ratkaisukirjan esittämästä menetelmästä tai sitten esitän laajennetun ratkaisuversion, jossa on malliratkaisun idea mutta perusteluineen. Linkki tuohon kansioon löytyy aiemmasta blogiviestistä.

keskiviikko 7. helmikuuta 2018

Fysiikka 5.2.

Tänään käsittelimme painetta. Paine kuvasi voiman vaikutusta jollekin pinta-alalle, eli kuinka samalla voimalla voi olla erilaisia vaikutuksia (esim vasara ja naula). Tämän lisäksi pohdimme, kuinka paine liittyy nesteisiin. Tehtävissä tämä usein tarkoittaa hydrostaattista painetta. Tästä olikin luontevaa siirtyä nosteeseen. Noste perustuu paine-eroon kappaleiden ylä- ja alapinnoilla (painottomassa tilassa esim ei ole nostetta). Tehtävien kannalta nostetta käsitellään Arkhimedeen lain kautta, jossa nosteen suuruus on yhtäsuuri kuin kappaleen syrjäyttämän nesteen paino.

Tunnilla käsiteltiin seuraavia tehtäviä:
3.1-3.6

Haluaisin vain muistuttaa, että luentokalvot löytyvät drivestä.

Mainittakoon vielä, että lisäsin driveen yhden nestedynamiikkaan liittyvän aineistotehtävän halukkaille!

maanantai 5. helmikuuta 2018

Matematiikka 5.2

Tänään katseltiin vektoreita. Vektorit ovat kovin monen mielestä vaikea osa-alue, mutta ne esiintyvät usein pääsykoetehtävissä. Tähän osioon on siis syytä paneutua kotona tehtäviä tekemällä; vain toistojen kautta aluksi hankalilta tuntuvat pyörittelyt alkavat selkiintyä ja kaavat alkavat tulla tutuiksi. Tunnilla teimmekin huomion, että kokeiden kaavakokoelmissa on vektoreihin liittyen erittäin niukasti kaavoja tarjolla; näitä on siis todellakin pakko hinkata kyllästymiseen asti.

Tunnin aluksi esittelin melkoisen pikaiseen tahtiin tehtävät 3.56, 3.50 ja 3.37. Nämä olivat yhdessä 3.45 tehtävän ohella ns. haastavimpia tehtäviä lähivuosien pääsykokeissa vektoreihin liittyen, ja niissä käytetään projektiota lukuunottamatta kaikkia muita usein toistuvia vektorikaavoja. Näiden tehtävien ratkonnassa tehtävät pyörittelyt on hyvä tehdä itsekin kertaalleen.

Kaikki vektorialueen tehtävät poislukien *-merkityt ovat nyt siis erittäin suositeltavaa ajanvietettä kohta alkavalle 2 viikon kurssitauolle. Ensi kerralla näihin voidaan palata, jos yleisiä kysymyksiä riittää. Muutoin jatkamme etenemistä lukuun 4 Analyyttinen geometria.

Päivitän kurssitauolla jakokansioon lisämateriaalia etenkin luvusta 3; ainakin omia vaihtoehtoisia ratkaisujani alueen tehtäviin tulee näkyville, ja ehkä hieman lisäselityksiä teoriaosan kaavoista.

lauantai 3. helmikuuta 2018

Fysiikka ja matematiikka 1.2.

Fysiikan tunnilla tutustuimme mekaaniseen energiaan ja havaitsimme kuinka se koostuu liike-energiasta ja potentiaalienergiasta. Toinen päivän tärkeä aihe oli työn tekeminen ja kuinka työ muuttaa energiaa muodosta toiseen tai siirtää sitä systeemin ja ympäristön välillä.

Tunnilla annetut tehtävät:

2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.9, 2.14, 2.16, 2.17, 2.21

Matematiikan tunti oli hyvin laskupainotteinen. Aluksi ihmettelimme hiukan yksikköympyrää, jota tuijottamalla johdimme osan trigonometrisistä symmetrioista kuten trigonometrian perusyhtälön. Tämän jälkeen teimme yhden esimerkkitehtävän jonka jälkeen ryhdyimme ratkomaan tehtäviä.

Tunnilla annetut tehtävät:

3.2, 3.4, 3.6, 3.35, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.51, 3.52, 3.53, 3.55

keskiviikko 31. tammikuuta 2018

Fysiikka 29.1.

Kävimme maanantaina läpi painovoimaa ja mietimme pyöriviä systeemejä. Tunnin tärkein juttu mielestäni oli momenttiyhtälö, eli Newtonin toisen lain vastike pyörimisen suhteen. Kun käsittelette statiikan tehtäviä, tulee ymmärtää, että momenttien summa on nolla jokaisen pisteen suhteen, eli voitte valita akselin sen mukaan, mikä on helpoin laskea!

Tunnilla tehtiin tehtäviä:
Gravitaatio: 1.25, 1.26
Mekaniikka: 1.45, 1.46, 1.48, 1.49, 1.55, 1.56

tiistai 30. tammikuuta 2018

Matematiikka 29.1

Tunnilla jatkettiin geometrian parissa. Käytiin nopeasti pari esimerkkiratkaisua läpi yhdessä, ja sen jälkeen laskettiin kirjan tehtäviä.

Tunnin kalvot ovat nyt jakokansiossa nähtävillä. Kalvoilla on esimerkkiratkaisu mm. tehtävään 2.31 ja myös tunnilla monille harmaita hiuksia aiheuttaneeseen tehtävään 2.15. Omakin ratkaisuni oli tunnilla vähän oiottu, joten lisäsin nyt kalvoille tähän tehtävään perusteellisemman ratkaisun, joka toivon mukaan perustelee ainakin ratkaisukirjan mallivastauksen käyttämät oikopolut kaikille ymmärrettävästi.

Kotiin jäi tehtäväksi viimeistellä geometrian tehtävät, ja tutustua etukäteen luvun 3 teoriaosuuteen. Lisäksi lämmittelynä kolmosluvun tehtävien alusta (H)-tason tehtäviä.

lauantai 27. tammikuuta 2018

Fysiikka 25.1.

Tänään käsiteltiin heittoliikettä ja aloiteltiin ympyräliikkeeseen tutustumista. Pääsykokeiden kannalta erityisesti heittoliike kannattaa opiskella kunnolla, ainakin mikäli vanhoja pääsykokeita on uskominen. Kyseessä on hyvin usein toistunut tehtävätyyppi.

Mainittakoon vielä, että mikäli tuntuu siltä, että jotkin asiat jäivät vielä luennon jälkeen epäselviksi, Khan Academy tarjoaa erinomaisia nettiluentoja kurssin asioista. Suosittelen näitä kaikille :)

Olisi hyvä, että ensi tunnille olisitte tehneet seuraavat tehtävät:

- Heittoliike:
  1.12, 1.16, 1.17, 1.18
- Ympyräliike:
  1.19, 1.20, 1.22, 1.24

perjantai 26. tammikuuta 2018

Matematiikka 25.1

Torstaina käytiin hyvin lyhyesti läpi viime kerralla kotiin jäänyt tehtävä 1.59b ja lisäksi yksi prosenttitehtävä 1.55. Prosenttilaskuja kannattaa siis katsella ratkaisukirjasta, jos niiden tekeminen on ollut haasteellista. Päivän kalvoillani oli lyhyeksi pelkistetty kooste lähes jokaisen prosenttitehtävän ratkaisemisen periaatteesta.

Päivän varsinaisena aiheena tutustuttiin teoriakirjan luvun 2 tasogeometriaan. Kalvoilla on esitettynä tehtävä 2.5 ja nyt myös päivitettynä yksityiskohtaisempi esitys haastavan tehtävän 2.4 ratkaisusta. Lisäsin ratkaisuun selityksiä ajatuksieni tueksi ja myöskin muistutukseksi vastaustekniikasta. Tunnilla en perustellut, miksi löydetty pituuden nollakohta on maksimi; hyvässä vastauksessa tämäkin olisi nopeasti todettu sijoituksella, tästä malli nyt kalvoilla myös.

Kalvojen lopussa on lista tehtävistä, joita aloitimme tekemään tunnilla. Pyrkikää saamaan koko lista tehdyksi ensisijaisesti siten, että lähdette liikkeelle niistä tehtävistä, jotka aukeavat heti. Pyritään kotityöskentelyssäkin välttämään siis tilannetta, jossa jäädään heti jumiin yhteen tehtävään, koska koesuorituksessakin on pyrittävä siihen. Mikäli jokin tehtävä ei aukea toisellakaan kerralla, niin katsokaa olisiko ratkaisukirjassa aluksi jokin vihje, mistä voisitte kenties aloittaa. Jos joudutte turvautumaan kokonaan mallivastaukseen, niin kirjoittakaa se kuitenkin puhtaaksi myös itse sellaisin lausein ja välivaihein, jotka itse ymmärrätte hyvin. Tällöin kielellistätte ratkaisun itsellenne ymmärrettävään muotoon, ja tekniikka tulee todennäköisemmin opittua.

tiistai 23. tammikuuta 2018

Matematiikan kansio kurssilaisille

Laitan luennoilla esittämäni materiaalit kurssilaisten saataville myöhempää käyttöä varten jaettuun kansioon. Kalvoilla ei välttämättä ole liiemmin teoriaa laajentavaa infoa, mutta ainakin omia esimerkkivastauksiani joihinkin tehtäviin teorian tueksi. Näitä voi myöhemmin esimerkiksi vertailla ratkaisukirjan mallivastauksiin, ja yrittää löytää niistä molemmista itselleen parhaiten toimivia ratkaisutekniikoita.

Linkki kyseiseen kansioon tässä: linkki

maanantai 22. tammikuuta 2018

Matematiikka 22.1

Tänään käytiin tiiviisti läpi lukua 1. Kalvoilla esitin kustakin yhtälöihin liittyvästä osa-alueesta tiivistyksen ja joitakin aiheisiin liittyviä tehtäviä ratkaisuineen. Ratkaisut näistä ovat kalvoilla hyvin tiiviissä muodossa, tunnilla yritettiin niitä hieman laajemmin käsitellä.

Kalvot kannattaa teoria-osan ohella vilkaista läpi. Yritin kerätä niihin sellaisia huomioita, jotka mielestäni ovat oleellisia, kun ajatellaan näistä aiheista mahdollisesti tulevia koetehtäviä.

Lopputunti tehtiin tehtäviä. Kalvoilla on 6 tehtävän paketti, josta käytiin läpi 4 ensimmäistä. Tämän tarkoitus oli hyvin karkeasti jäljitellä koetilannetta; 6 tehtävää lyhyessä ajassa, joten on tärkeää löytää sieltä sellaiset, jotka saa tehtyä varmasti. Mukavasti saatiin yhteen tehtävään tekijäkin taululle. Tätä toivon lisää, koska oman ratkaisun esittäminen muille voi auttaa muita saamaan asiasta kiinni paremmin kuin minun puheiden perusteella. Samalla itsekin tulee käyneeksi ratkaisunsa läpi useamman kerran; tämä syventää omaa osaamista ja lisää luottamusta omiin kykyihin.

Kotiin jäi tuosta tehtäväpaketista tehtävät 1.59 ( vain b-kohta, a-kohta löytyy kalvoilta ) ja 1.61. Lisäksi omavalintaiset vähintään 2 prosenttilaskutehtävää sivujen 12-17 välisestä valikoimasta.

Ensi kerralla aloitetaan puhumalla vielä prosenteista, ja sitten siirrytään lukuun 2 ja geometrian pariin. Lisäilen matematiikankin osalta tuntikalvoja näkyville huomenissa, jotta niihin voi palata myöhemminkin ja poissaolleet voivat katsella sieltä, missä on menty.

perjantai 19. tammikuuta 2018

Fysiikka 18.1.

Tervetuloa kurssille vielä kerran minunkin puolesta! Ensimmäisellä oppitunnilla kävimme läpi vähän yleisempiä asioita, kuten fysiikan tehtävän vastaustekniikkaa ja huomasimme kuinka matematiikan tunneilla opitut asiat liittyvät fysiikan opintoihin (esim integrointi ja derivointi). Mielestäni kuitenkin tärkein asia, mitä käsittelimme tunnilla oli dimensioanalyysi, eli ajatus siitä kuinka fysiikassa kaikilla asioilla on jokin yksikkö. Tätä tietoa pystytään esimerkiksi käyttämään yhtälöiden järkeilyssä ja laskujen tarkastuksessa.

On tärkeää, että kurssin aikana jokaiselle muodostuu hyvä laskurutiini ja se muodostuu, no laskemalla. Ennen seuraavaa tuntia teidän tulisi täten tehdä ennakkotehtävistä mekaniikan ja lämpöopin tehtävät, sekä kirjasta 1.1. - 1.10. Mikäli jokin tehtävä jää mietityttämään/tuntuu erityisen vaikealta, voimme käydä niitä yhdessä läpi maanantaina tunnin alussa.

Sen pidemmittä puheitta hyvät viikonloput kaikille ja muistakaa, että työ voittaa lahjakkuuden joka kerta!

P.S. Linkki luentokalvoihin

torstai 18. tammikuuta 2018

Matematiikka 18.1.

Matematiikan ensimmäisellä kokoontumiskerralla tutustuttiin hieman materiaaleihin ja puhuttiin yleistä kurssista. Sen jälkeen käytiin pikaisessa tahdissa läpi esitietotehtäviä, jotka olivat tuntuneet haastavilta. Näistä suurin osa kurssimateriaalista; näiden tehtävien ratkaisuja saa rauhassa tutkia, mikäli niitä ei vielä ole saanut ratkottua. Muutoin ratkaisujen kirjaa tulisi välttää apuvälineenä; käyttäkää sitä lähinnä jo ratkaisemienne tehtävien tarkistamiseen. Tällöin ratkaisuista voi saada ideoita myöhempiin tehtäviin eikä tule haettua vain oikopolkua ratkaisuun.

Kurssilla pyritään siis ratkomaan kaikki tehtävät samoin periaattein kuin varsinaisessa pääsykokeessakin; käytetään kynää ja paperia sekä vain sellaista laskinta, joka on sallittu myös pääsykokeessa. Lista näistä löytyy mm. dia.fi -sivustolta, ja se varmasti pyörii meillä esillä tunneillakin. Varmistakaa siis, että teiltä löytyy hyväksytty laskin. Lisäksi MAOL -taulukkokirja kannattaa tämän kurssin puitteissa unohtaa; vain materiaalista löytyvää kaavakokoelmaa tulisi käyttää aktiivisesti, jotta sen sisältöön tottuu.

Kotitehtäväksi teoriakirjan sivulta 10 lukuun 1 liittyviä tehtäviä 5 omavalintaista.