Matematiikka 26.4.

Toiseksi viimeisen kappaleen aiheena Todennäköisyyslaskenta. Aihe on hyvin erilainen kaikkiin muihin nähden, ja sen myötä usein haastava. Tehtävien periaatteet eivät oikein yhdisty muiden aihepiirien tehtäviin, joten tarvittavien kaavojen muistaminen osoittautuu hankalaksi. Samoin, tehtävissä on joskus vaikea muodostaa selkeä kuva siitä, miten ratkaistava todennäköisyys oikein saadaan muodostettua.

Haastavaa on usein päätellä, onko tehtävässä kyse tilanteessa, jossa valintoja tehdään järjestys huomioiden vai ilman järjestystä. Lisäksi binomikaavan opettelu johtaa usein tilanteisiin, jolloin sitä yrittää "väkisin" käyttää, vaikkei tehtävässä sitä edellytetäkään. On siis opittava tulkitsemaan sanallisia tehtävänantoja, ja pystyttävä päättelemään, mitä ratkaisumallia riittää / täytyy käyttää.

Tehtävät 10.27 saakka ovat pääosin hyviä kertaus- ja harjoittelutehtäviä. Loppupään sanalliset tehtävät edustavat tyypillisempiä nykyaikaisia todennäköisyystehtäviä. Osion kaikista tehtävistä löytyy vain jokunen erityisen haastava, jos todennäköisyyslaskennan periaatteet on hyvin hallussa. Muutoin kinkkisiä tehtäviä kyllä riittää...

Matematiikka 23.4.

Integroinnin toinen osuus. Tunnilla puhuttiin hieman esimerkkitehtävien myötä itseisarvointegroinneista ja trigonometrisista funktioista. Nämä ovat molemmat potentiaalisia tärppejä integrointitehtävien suhteen; trigonometriset funktiot esiintyvät kokeessa kokolailla varmasti ainakin yhdessä tehtävässä kuten myös itseisarvotkin. Näiden tehtävien ratkonta vaatii usein keskittymistä etenkin alkuvaiheessa, jotta rajaukset saa tehtyä oikein.

Tehtävien seasta löytyi erilaisia "helmiä". Esimerkkeinä vaikkapa tehtävä 9.54, joka 6. tehtävänä on erittäin vaatimaton vaikeustasoltaan moniin muihin verrattuna, ja toisaalta tehtävä 9.45, joka 1. tehtävänä osoittautuukin kohtalaiseksi pähkinäksi. On siis syytä taas kerran muistaa, että kaikki tehtävät on luettava ajatuksella, sillä numero ei suoraan kerro tehtävän vaikeustasoa.

Seuraavalla kerralla siirrytään todennäköisyyksien maailmaan. Integrointitehtävien ratkaisuja on luvassa lisää jakokansioon, kunhan niitä saan pakerrettua digimuotoon..

Matematiikka 19.4.

Tänään aloiteltiin integrointiurakkaa. Aihe on varsin kaksijakoinen; monelle se menee sujuvasti, jos derivointitehtävät ovat hyvin hallussa ja osalle integrointi on tuskien taivallusta. Vaikka suhde derivointiinkin onkin läheinen ja ilmiselvä, niin ajattelun kääntäminen toiseen suuntaan ei aina ole niin helppoa.

Teoriaosan perinteisten integrointisääntöjen osaaminen on oleellista, sillä usein tehtävissä vaaditaan ensin vaativampia keinoja, jotta päästään siihen mekaaniseen loppuintegrointiin. Tehtävien seassa on kyllä tuskaisiakin integrointeja, kuten esimerkiksi tehtävässä 9.7. Tässä on muistettava hieman trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja, jotta homman saa avattua; tuolloinkin tekemistä on moneen välivaiheeseen.

Monissa tehtävissä on onnistuttava muokkaamaan integroitava funktio ensin sellaiseen muotoon, johon voidaan soveltaa jotakin tunnettua sääntöä. Tällöin yleensä menettelynä on osoittajan muokkaaminen sellaiseksi, että sinne saadaan muodostettua vastaavia tekijöitä kuin nimittäjästä löytyy. Mikäli nimittäjän polynomi saadaan esitettyä 1. asteen polynomien tulona, niin pilkkomisen seurauksena voi hyvinkin olla luonnollisen logaritmin derivaattoja.

Yleisimpiä tehtäviä ovat erilaiset pinta-alan tai tilavuuden selvittämiset. Tällöin pääsääntöisesti lähdetään liikkeelle etsimällä tehtävässä esiintyvien käyrien leikkauspisteitä. Etenkin pyörähdyskappaleiden kohdalla on oltava tarkkana, miten annettua funktiota käsittelee. Yleisimmässä muodossa pyörähdetään x-akselin eli käyrän y=0 ympäri; tuolloin varsinainen käyräkin on ratkaistava nimenomaan y:n suhteen. Vastaavasti, jos pyörähdetään y-akselin tai vaikka x=2 ympäri, niin varsinainen käyrä on ratkaistava x:n suhteen.

Oleellista on myös usein selvittää perustellen, miksi esimerkiksi pinta-alatehtävissä toinen käyristä on toisen yläpuolella annetulla välillä. Usein tämä on selkeästi todettavissa, joskus voi ottaa osaväleiltä sopivia pisteitä, joissa laskee käyrien arvot ja toteaa toisen olevan osavälillä aina suurempi/pienempi. On kuitenkin intuitiivisesti selkeää, että osavälillä järjestys on aina sama, koska muutoin osavälillä olisikin jokin toinenkin nollakohta.

Matematiikka 16.4.

Maanantaina katseltiin Differentiaalilaskentaa vielä kerran, tällä kertaa tuoreimpia koetehtäviä.

Aluksi esittelin kolme erilaista 6. tehtävää menneiltä vuosilta, joilla oli ajallisesti eroa 20v: 8.50 , 8.59 ja 8.66.

Näistä 8.59 oli todella suoraviivainen tehtävä, joka ratkeaa suoraan liikkeelle lähtemällä. Se ei siis toisin sanoen täytä sitä mielikuvaa, mikä on odotusarvoisesti vaikeimmasta tehtävästä.

8.66 tehtävässä a)-kohta on hyvin selkeä. Samoin b)-kohdan ajattelu on hyvin suoraviivaista, mutta hieman joutuu pohtimaan saman tangentin olemassaoloa kuin a)-kohdassa. Syntyvä kolmen yhtälön ryhmä tuottaa hankalia murtolukuja; näiden ratkaiseminen ei ole aina yksinkertaista ilman apuvälineitä.

Tehtävä 8.50 on kuitenkin näistä kolmesta selvästi vaikein. Tässä on tehtävä ensin hankalahkoa päättelytyötä, jotta saa muodostettua lauseen pisteen B kulkukäyrän derivaatalle. Sen jälkeen on onnistuttava derivoimaan hankala funktio f(x); tässä pyörittelyssä on kovin helppo tehdä virheitä. Tämän funktion derivointi onkin erinomaista harjoittelua.

Jakokansiossa on hieman lisää ratkaisuja loppupään tehtäviin, pitkä linkki kansioon vielä tässä:

https://drive.google.com/drive/folders/1NsVnso1rkdXs0K_6HEguWkvNEOUJojBC?usp=sharing

Ensi kerralla sitten integrointia.

Matematiikka 12.4.

Torstaina jatkettiin differentiaalilaskennan tehtäviä eteenpäin. Tunnin aluksi näytin kalvoilta 4 erilaista tehtävää läpi, ja lopputunti jatkettiin omia valintoja eteenpäin. Kalvot löytyvät jakokansiosta, ja siellä on myös muutamaan muuhunkin tehtävään jonkinlainen malliratkaisu nähtävillä.


Luvussa on tosiaan tehtäviä 66, mutta kuten tunnilla huomattiin, niin seassa on myös tehtäviä - kuten 8.26 - joissa ei tarvita differentiaalilaskentaa lainkaan. Tämä tehtävä on oikein hyvä ongelmanratkaisutehtävä, mutta ratkeaa ajatuksen löydyttyä ihan perinteisillä yhtälönratkaisun menetelmillä.


Maanantaina jatketaan vielä kerran tätä lukua käsitellen, tuolloin keskitytään osion loppupään tehtäviin eli kaikkein tuoreimpiin pääsykoetehtäviin.

Matematiikka 9.4.

Maanantaina aloitettiin tehtävien osalta melko mammuttimainen luku 8 Differentiaalilaskenta.

Sanallisten tehtävien tyyli on nykyään yhä yleisimmin se, että tekstistä on pystyttävä ensin itse rakentamaan funktio(t), jota lähdetään tutkimaan derivaatan avulla. Teoriaosuudessa kerrataankin ensin yleisimmin tarvittavat derivointisäännöt; näistä kutakuinkin kaikki tulisi osata "mennentullen", koska yleisesti ottaen itse derivointi on näissä tehtävissä vain yksi mekaaninen osa tehtävän ratkaisua. Suurin vaikeus on yleensä tutkittavan funktion muodostaminen. On myös syytä olla tarkkana erityisesti tehtävissä, joissa on annettu funktio jo valmiiksi. Kysytäänkö tehtävänannossa sellaista, joka selviää suoraan tätä annettua funktiota derivoimalla vai liittyykö ongelma todellisuudessa annetun funktion derivaattafunktioon, jota on lähdettävä tutkimaan toisen derivaatan kautta?

Teoriakirjan esimerkki 8.1 on hyvä esimerkki tehtävästä, jossa on hieman osattava soveltaa derivoinnin ketjusääntöä. Tästä on myös suoraan vastaava tehtävä 8.16, joka on hyvä tehdä idean hahmottaakseen. Ennen seuraavaa kertaa 2 ensimmäistä tehtäväsivua ovat "vapaata riistaa". Lukua käydään 3 kertaa, joten kepeät parikymmentä tehtävää per kerta on tehtäviä keskimäärin jaossa! :) Kaikkia ei tietenkään ehditä käymään läpi tai tehdä muutenkaan tunneilla, mutta laittelen joihinkin tehtäviin omia ratkaisujani taas jakokansioon sellaisista tehtävistä, joihin on vastauskirjan tekotapaan nähden toisenlainenkin vaihtoehto tarjolla. Muistaa vastauskirjaa katsellessa pistää merkkejä kohtiin, joissa on oiottu välivaiheita siten, ettette meinaa nähdä mitä on tehty. Näistä on hyvä kysyä tunneilla, niin yritetään yhdessä löytää tekijän logiikka lisävälivaiheilla.

Matematiikka 5.4.

Tänään jatkettiin raja-arvojen pyörittelyä. Tuntikalvoilla jakokansiossa on taas näkyvillä tunnilla esitellyt tehtävät.

Tehtävässä 7.12 on oleellista huomata, ettei vasemmanpuoleista raja-arvoa ole määritelty, koska neliöjuuren sisällä oleva lauseke on tuolloin negatiivinen. Oikealla puolelle on puolestaan huomattava, että nimittäjä saadaan jaettua tekijöihin, koska x=3 on sen nollakohta. Osoittajastakin saadaan yksi x otettua ulos, ja näin on saatu "eristettyä" kaksi termiä, jotka lähestyvät äärellisiä arvoja, kun x -> 3.

Tehtävässä 7.18 päästään liittoluvulla laventamisella varsin sekaviin lausekkeisiin.  Koska x lähestyy ääretöntä, niin yleensä parasta on pyrkiä ottamaan yhteinen tekijä, joka saadaan supistettua pois. Nimittäjästä nähdään, että voidaan pyrkiä ottamaan vain x ulos, ja se pitää tehdä neliöjuurilausekkeissa on x^2 avulla juuren sisäpuolella. Tämän jälkeen ongelmallisinta on miettiä osoittajan pitkää lauseketta. Ryhmittelemällä lauseke saadaan kolmeen osaan, ja voidaan päätellä tie maaliin.

Luvun ehkä kiintoisin päättelytehtävä on 7.21. Tässä ei paljoa raja-arvolla tarvitse leikkiä, mutta tehtävä on rakennettu sikäli poikkeavasti, että varsinaisen lopputuloksen näkee varsin nopeasti tehtävänantoa miettimällä. Hankalaksi kostautuukin ratkaisun miettiminen paperille yleisellä tasolla. Mallivastauksen idea on aika vaikeaselkoinen, logiikan saa esille ehkä helpoiten avaamalla pitoisuuden vaiheittain lukuina ja yrittämällä sitoa saadut arvot jotenkin tehtävän lopputuloksesta riippuvaisiksi.

Ensi kerralla siirrytään sitten mammuttimaisen luvun 8 pariin, differentiaalilaskennan maailmaan. Siellä vierähtääkin sitten toista viikkoa..