Tänään aloiteltiin integrointiurakkaa. Aihe on varsin kaksijakoinen; monelle se menee sujuvasti, jos derivointitehtävät ovat hyvin hallussa ja osalle integrointi on tuskien taivallusta. Vaikka suhde derivointiinkin onkin läheinen ja ilmiselvä, niin ajattelun kääntäminen toiseen suuntaan ei aina ole niin helppoa.
Teoriaosan perinteisten integrointisääntöjen osaaminen on oleellista, sillä usein tehtävissä vaaditaan ensin vaativampia keinoja, jotta päästään siihen mekaaniseen loppuintegrointiin. Tehtävien seassa on kyllä tuskaisiakin integrointeja, kuten esimerkiksi tehtävässä 9.7. Tässä on muistettava hieman trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja, jotta homman saa avattua; tuolloinkin tekemistä on moneen välivaiheeseen.
Monissa tehtävissä on onnistuttava muokkaamaan integroitava funktio ensin sellaiseen muotoon, johon voidaan soveltaa jotakin tunnettua sääntöä. Tällöin yleensä menettelynä on osoittajan muokkaaminen sellaiseksi, että sinne saadaan muodostettua vastaavia tekijöitä kuin nimittäjästä löytyy. Mikäli nimittäjän polynomi saadaan esitettyä 1. asteen polynomien tulona, niin pilkkomisen seurauksena voi hyvinkin olla luonnollisen logaritmin derivaattoja.
Yleisimpiä tehtäviä ovat erilaiset pinta-alan tai tilavuuden selvittämiset. Tällöin pääsääntöisesti lähdetään liikkeelle etsimällä tehtävässä esiintyvien käyrien leikkauspisteitä. Etenkin pyörähdyskappaleiden kohdalla on oltava tarkkana, miten annettua funktiota käsittelee. Yleisimmässä muodossa pyörähdetään x-akselin eli käyrän y=0 ympäri; tuolloin varsinainen käyräkin on ratkaistava nimenomaan y:n suhteen. Vastaavasti, jos pyörähdetään y-akselin tai vaikka x=2 ympäri, niin varsinainen käyrä on ratkaistava x:n suhteen.
Oleellista on myös usein selvittää perustellen, miksi esimerkiksi pinta-alatehtävissä toinen käyristä on toisen yläpuolella annetulla välillä. Usein tämä on selkeästi todettavissa, joskus voi ottaa osaväleiltä sopivia pisteitä, joissa laskee käyrien arvot ja toteaa toisen olevan osavälillä aina suurempi/pienempi. On kuitenkin intuitiivisesti selkeää, että osavälillä järjestys on aina sama, koska muutoin osavälillä olisikin jokin toinenkin nollakohta.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti